最大子序列求和问题

       问题描述

                给定一组整数序列,求出这组序列和中的最大值，不要求求出最大的子序列。

                例如：   

                          序列：-2 11 -4 13 -5 -2，则最大子序列和为20。

                          序列：-6 2 4 -7 5 3 2 -1 6 -9 10 -2，则最大子序列和为16

       算法一

                  使用穷举法，代码如下：

package com.kiritor; /**  * 使用穷举法就最大子序列问题  * 时间复杂度为O(N^3)  * @author Kiritor*/ public class MaxSub {    public static int maxSub(int a[])    { 	   int maxSum=0; 	   for(int i=0;i<a.length;i++) 	     for(int j=i;j<a.length;j++) 	     { 	    	 int sum = 0; 	    	 for(int k=i;k<=j;k++) 	    	 { 	    		 sum+=a[k]; 	    	 } 	    	 if(maxSum < sum) 	    	    maxSum = sum; 	     } 	   return maxSum;    } } 

                    显然这不是一个有效且合理的算法，算法的时间复杂度为O(N^3)，仔细思考就可以发现该

              算法对于一些中间结果并未加以利用。例如：当i=0，j=3时计算了sum=a[0]~a[4]，但是当i=0,

              j=4的时候计算sum的时候没有将a[0]~a[3]这一结果利用起来，而是重新再计算了一次，显然

              做了一些无用功。

                   基于此算法进行改进，减少一重循环

      算法二

                   对中间结果加以利用，降低算法的时间复杂度

package com.kiritor;  /**  * 对前面计算的结果加以利用  * 减去一层循环  * 时间复杂度降为O(N^2)  * @author Kiritor  */ public class MaxSub { 	public static int maxSub(int a[]) { 		int maxSum = 0; 		for (int i = 0; i < a.length; i++) { 			int sum = 0; 			for (int j = i; j < a.length; j++) { 				sum += a[j]; 				if (maxSum < sum) 					maxSum = sum; 			} 		} 		return maxSum; 	} }                   

        算法三

                   对于这个问题我们可以使用分治的思想+递归来求解它，其时间复杂度就降低为O(NlogN)了

                   其主要的思想就是：

                       1、分解(分)：将原问题分解为若干个规模较小，相对独立，与原问题形式相同的子问题

                       2、解决：若子问题规模较小则直接解决，否则递归解决个子问题

                       3、合并(治)：将各子问题的解合并为原问题的解。

                  代码部分：

         

package com.kiritor;  /**  * 分治+递归的思想求解  * 时间复杂度降为O(NlogN)  * @author Kiritor  */ public class MaxSub { 	public int maxSub(int[] a,int left,int right) 	{ 		if(left==right) 		    if(a[left]>0) 		    	return a[left]; 		    else 		    	return 0; 		int center = (left+right)/2;//分解 		int maxLeftSum= maxSub(a,left,center);//左边递归 		int maxRightSum = maxSub(a,center+1,right);//右边递归 		//处理中间包含center左右边界的最大和情况 		int maxLeftBorderSum = 0,leftBoderSum = 0; 		for(int i=center;i>=left;i--) 		{ 			leftBoderSum +=a[i]; 			if(maxLeftBorderSum<leftBoderSum) 				maxLeftBorderSum = leftBoderSum; 		} 		int maxRighttBorderSum = 0,rightBoderSum = 0; 		for(int i=center+1;i<=right;i++) 		{ 			rightBoderSum +=a[i]; 			if(maxRighttBorderSum<rightBoderSum) 				maxRighttBorderSum = rightBoderSum; 		} 		//问题合并(治) 		return max(maxLeftSum,maxLeftBorderSum+maxRighttBorderSum,maxRightSum); 	} 	//可变参数的使用，jdk1.5及以上 	public int max(int ...args) 	{ 		int max=args[0]; 		for(int i=1;i<args.length;i++) 			if(max<args[i]) 				max= args[i]; 		return max; 	} } 

                     Tisp:需要注意的是子问题之间是不包含公共的子问题的。   

        算法四

                 最后提供一种比较“聪明”的算法，其时间复杂度为O(N)，它只对数据进行一次扫描。

/**线性时间，复杂度为O(N)*/ public int maxSubLinear(int[] a) 	{ 		int sum = 0,maxSum =0; 		for(int i=0;i<a.length;i++) 		{ 			sum +=a[i]; 			if(sum>maxSum) 				maxSum =sum; 			else if(sum<0) 				sum = 0;//如果sum<0,就没有必要将前面的序列继续代入了，将sum=0 				 		} 		return 0; 	}