第7章 图的基本概念

图（Graph)是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G(V,E)，其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。

7.2 图的定义

线性表：数据元素之间是被串起来的，仅有线性关系，每个数据元素只有一个直接前驱和一个直接后继，是一对一的关系。

树：数据元素之间有明显的层次关系，每一层上的数据元素可能和下一层中多个元素相关，但只能和上一层中一个元素相关，这和一对父母可以有多个孩子，但每个孩子只有一对父母一个道理，是一对多的关系。

图：比线性表和树都要复杂，节点之间关系是任意的，图中任意两个数据元素之间都可能相关。

树可以看成是连通的没有回路的图，可看做一种特殊图。其实线性表可以看成是一种特殊的树。

线性表中我们把数据元素叫做元素，树中将数据元素叫做结点，在图中数据元素，我们则称之为顶点（Vertex）。

线性表中可以没有数据元素，称为空表。树中可以没有结点，叫做空树。在图结构中，不允许没有顶点，但边可以为空。因此在图的定义中强调有穷非空。

线性表中，相邻数据元素之间具有线性关系，树结构中，相邻两层结点之间有层次关系，而图中，任意两个顶点之间都有可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以为空的。

7.2.1各种图定义

无向边：若顶点Vi到Vj之间的边没有方向，则称这条边为无向边（Edge），用无序偶对（Vi，Vj）来表示。

无向图：如果图中任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图。由于是无方向的，连接顶点A和连接顶点D的边，可以表示成无序对（A，D），也可以表示成（D，A）。

 

对于上面的无向图G来说，G=（V，E），其中顶点集合V={A,B,C,D};边集合E={（A，B)，（B，C)，（C，D)，（A，C)，（A，D)}

有向边：若同顶点Vi到Vj的边有方向，则称这条边为有向边，也称为弧（Arc）。用有序偶<Vi，Vj>来表示，Vi称为弧尾，Vj称为弧头。

有向图：如果任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图。

对于上面的有向图，连接顶点A和B的有向边就是弧，A是弧尾，B是弧头，<A，D>表示弧，不能写成<D，A>。G = （V，E）；其中顶点集合V={A，B，C，D}；弧集合E={<A，B>,<B，C>,<C，D>,<D，A>,<C，A>}。

注意：无向边用小括号“（）”来表示，有向边用尖括号“<>”来表示。

简单图：在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。我们课程里讨论的图都是简单图。

完全无向图：如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为完全无向图。含有n个顶点的无向完全图有n*(n-1)/2条边。

完全有向图：如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。含有n个顶点的完全有向图有n*(n-1)条边。

从上面可以得到结论，对于具有n个顶点和e条边的图，无向图0 <= e <= n*(n-1)/2。有向图0 <= e <= n*(n-1)。

稀疏图：有很少条边或弧的图，反之称为稠密图。

权(Weight)：与图的边或弧相关的数叫做权。权可以表示从一个顶点到另一个顶点之间的距离或耗费。

网：带权的图。

子图：假设有两个图G=（V，E），G1=（V1，E1），如果V1包含于V且E1包含于E，则称G1为G的子图（Subgraph）。

7.2.2图的顶点与边间关系

1、无向图

对于无向图G=（V，E）。如果边（V，V1）属于E，则称顶点V和V1互为邻接点，即V和V1相邻接。

顶点的度：顶点V的度是和V向关联的边的数目。

边的数目是各顶点度数的和的一半。

2、有向图

对于有向图G=（V，E）。如果弧<V，V1>属于E，则称顶点V邻接到顶点V1，顶点V1邻接自顶点V。弧<V，V1>和顶点V，V1相关联。

弧的入度：以顶点V为头的弧的数目称为V的入度。

弧的出度：以顶点V为尾的弧的数目称为V的出度。

边的数目 = 各顶点的入度和 = 各顶点的出度和。

路径：顶点V到顶点V1所经过的顶点序列（如：V―V2―V3―V1）

树中根节点到任意节点的路径是唯一的。但是图中顶点与顶点之间的路径却不是唯一的，有可能不存在路径。

路径的长度：路径上的边或弧的数目。

回路或环：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环（Cycle）。

简单路径：序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。

简单回路：除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环。

7.2.3连通图的相关术语

在无向图中，如果从顶点V到顶点V1有路径，则称V和V1是连通的。如果对于图中任意两个顶点Vi、Vj，Vi和Vj都是连通的，则称G是连通图。

连通分量：无向图中的极大连通子图。注意连通分量的概念，它强调：

（1）要是子图。

（2）子图要是连通的。

（3）连通子图含有极大顶点数（再多一个顶点就不在连通了）

（4）具有极大顶点树的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。

结论：（1）非连通图应该至少有两个连通分量。

在有向图中，如果对于每一对Vi、Vj，Vi不等于Vj，从Vi到Vj和从Vj到Vi都存在路径，则称G是强连通图。

有向图中的极大强连通子图称作有向图的强连通分量。

生成树：一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它包含图中全部的n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。

有向树：如果一个有向图恰有一个顶点入度为0，其余顶点的入度为1，则是一棵有向树。所谓入度为0就是相当于树中的根节点，其余顶点入度为1就是说树的非根节点的双亲只有一个。

生成森林：一个有向图的生成森林由若干棵有向树组成，含有图中全部节点，但只有足以构成若干棵互不相交的有向树的弧。