容易忘记的海明码

 
海明码是一种具有纠错功能的校验码。本文简单地介绍海明码的计算方法。
海明码的目的是能够纠正一位误码。假设信息码共有 n 位,海明码共有 h 位,那么总共的码长为 n + h 位。为能检测出 n + h 位编码中其中一位的错误,海明码必须能够表示至少 n + h + 1 种状态,其中 n + h 种表示 n + h 位编码中有一位错误,另外还需要一种来表示整个编码正确无误。则海明码的长度需要满足下列关系:
2 h >= n + h + 1
于是根据这个式子我们可以得出以下的关系表:
海明码的插入位置顺序为:An=2(n-1)方
以 4 位信息位为例,由上表可以看出需要的海明码长度为 3。
设信息位为 x 4x 3x 2x 1,添加的 3 位海明码为 a 3a 2a 1,信息码和海明码组合之后得到的码为
a1 a2 x1 a3 x2 x3 x4
海明码是一种具有纠错功能的校验码。本文简单地介绍海明码的计算方法。
海明码的目的是能够纠正一位误码。假设信息码共有 n 位,海明码共有 h 位,那么总共的码长为 n + h 位。为能检测出 n + h 位编码中其中一位的错误,海明码必须能够表示至少 n + h + 1 种状态,其中 n + h 种表示 n + h 位编码中有一位错误,另外还需要一种来表示整个编码正确无误。则海明码的长度需要满足下列关系:
2 h >= n + h + 1
于是根据这个式子我们可以得出以下的关系表:
h 2 3 4 5 6 7 8
n 1 2~4 5~11 12~26 27~57 58~120 121~247
以 4 位信息位为例,由上表可以看出需要的海明码长度为 3。
设信息位为 x 4x 3x 2x 1,添加的 3 位海明码为 a 3a 2a 1,信息码和海明码组合之后得到的码为 H 7H 6H 5H 4H 3H 2H 1
错误 H1 H2 H3 H4 H5 H6 H7
C1 0 1 0 1 0 1 0 1 C1 = H1 + H3 + H5 + H7 = 0
C2 0 0 1 1 0 0 1 1 C2 = H2 + H3 + H6 + H7 = 0
C3 0 0 0 0 1 1 1 1 C3 = H4 + H5 + H6 + H7 = 0
如上表,在H 1~H 7中添加的 3 位海明码使得 C 1~C 3 的值为零。其中C 1~C 3为校验和。这样当 H n 传输出错时,有 (C 3C 2C 1) 2 = n。
令 H 1 = a 1, H 2 = a 2, H 4 = a 3,
则得出
H 7H 6H 5H 4H 3H 2H 1 = x 4x 3x 2a 3x 1a 2a 1
将上面的关系代入C 1~C 3的计算公式,得到
C 1 = H 1 + H 3 + H 5 + H 7 = a 1 + x 1 + x 2 + x 4 = 0
C 2 = H 2 + H 3 + H 6 + H 7 = a 2 + x 1 + x 3 + x 4 = 0
C 3 = H 4 + H 5 + H 6 + H 7 = a 3 + x 2 + x 3 + x 4 = 0

a 1 + x 1 + x 2 + x 4 = 0
a 2 + x 1 + x 3 + x 4 = 0
a 3 + x 2 + x 3 + x 4 = 0

a 3 = x 4 + x 3 + x 2
a 2 = x 4 + x 3 + x 1
a 1 = x 4 + x 2 + x 1

 
仔细读读下面的文字也许你就明白了:呵呵
海明码(Hamming Code )编码的关键是使用多余的奇偶校验位来识别一位错误。
码字(Code Word) 按如下方法构建:
1、把所有2的幂次方的数据位标记为奇偶校验位(编号为1, 2, 4, 8, 16, 32, 64等的位置)
2、其他数据位用于待编码数据. (编号为3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17等的位置)
3、每个奇偶校验位的值代表了代码字中部分数据位的奇偶性,其所在位置决定了要校验和跳过的比特位顺序。
位置1:校验1位,跳过1位,校验1位,跳过1位(1,3,5,7,9,11,13,15,…)
位置2:校验2位,跳过2位,校验2位,跳过2位 (2,3,6,7,10,11,14,15,…)
位置4:校验4位,跳过4位,校验4位,跳过4位 (4,5,6,7,12,13,14,15,20,21,22,23,…)
位置8:校验8位,跳过8位,校验8位,跳过8位(8-15,24-31,40-47,…)
如果全部校验的位置中有奇数个1,把该奇偶校验位置为1;如果全部校验的位置中有偶数个1,把该奇偶校验位置为0.
举例说明:
一个字节的数据:10011010
构造数据字(Data Word),对应的校验位留空_ _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0
计算每个校验位的奇偶性 ( ?代表要设置的比特位):
位置1检查1,3,5,7,9,11:
? _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 偶数个1,因此位置1设为0,即: 0 _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0
位置2检查2,3,6,7,10,11:
0 ? 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1,因此位置2设为1,即: 0 1 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0
位置4检查4,5,6,7,12:
0 1 1 ? 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1,因此位置4设为1,即: 0 1 1 1 0 0 1 _ 1 0 1 0
位置8检查8,9,10,11,12:
0 1 1 1 0 0 1 ? 1 0 1 0. 偶数个1,因此位置8设为0,即: 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0
因此码字为: 011100101010.
查找并纠错一位错误
上例中构建了一个码字 011100101010,假定实际接收到的数据是011100101110. 则接收方可以计算出哪一位出错并对其进行更正。方法就是验证每一个校验位。记下所有出错的校验位,可以发现校验位2和8的数据不正确. 错误校验位 2 + 8 = 10, 则位置10的数据出错。一般说来,对所有校验位进行检查, 将所有出错的校验位置相加, 得到的就是错误信息所在的位置
 
海明码是一种具有纠错功能的校验码。本文简单地介绍海明码的计算方法。
海明码的目的是能够纠正一位误码。假设信息码共有 n 位,海明码共有 h 位,那么总共的码长为 n + h 位。为能检测出 n + h 位编码中其中一位的错误,海明码必须能够表示至少 n + h + 1 种状态,其中 n + h 种表示 n + h 位编码中有一位错误,另外还需要一种来表示整个编码正确无误。则海明码的长度需要满足下列关系:
2 h >= n + h + 1
于是根据这个式子我们可以得出以下的关系表:
h 2 3 4 5 6 7 8
n 1 2~4 5~11 12~26 27~57 58~120 121~247
以 4 位信息位为例,由上表可以看出需要的海明码长度为 3。
设信息位为 x 4x 3x 2x 1,添加的 3 位海明码为 a 3a 2a 1,信息码和海明码组合之后得到的码为 H 7H 6H 5H 4H 3H 2H 1
错误 H1 H2 H3 H4 H5 H6 H7
C1 0 1 0 1 0 1 0 1 C1 = H1 + H3 + H5 + H7 = 0
C2 0 0 1 1 0 0 1 1 C2 = H2 + H3 + H6 + H7 = 0
C3 0 0 0 0 1 1 1 1 C3 = H4 + H5 + H6 + H7 = 0
如上表,在H 1~H 7中添加的 3 位海明码使得 C 1~C 3 的值为零。其中C 1~C 3为校验和。这样当 H n 传输出错时,有 (C 3C 2C 1) 2 = n。
令 H 1 = a 1, H 2 = a 2, H 4 = a 3,
则得出
H 7H 6H 5H 4H 3H 2H 1 = x 4x 3x 2a 3x 1a 2a 1
将上面的关系代入C 1~C 3的计算公式,得到
C 1 = H 1 + H 3 + H 5 + H 7 = a 1 + x 1 + x 2 + x 4 = 0
C 2 = H 2 + H 3 + H 6 + H 7 = a 2 + x 1 + x 3 + x 4 = 0
C 3 = H 4 + H 5 + H 6 + H 7 = a 3 + x 2 + x 3 + x 4 = 0

a 1 + x 1 + x 2 + x 4 = 0
a 2 + x 1 + x 3 + x 4 = 0
a 3 + x 2 + x 3 + x 4 = 0

a 3 = x 4 + x 3 + x 2
a 2 = x 4 + x 3 + x 1
a 1 = x 4 + x 2 + x 1

 
仔细读读下面的文字也许你就明白了:呵呵
海明码(Hamming Code )编码的关键是使用多余的奇偶校验位来识别一位错误。
码字(Code Word) 按如下方法构建:
1、把所有2的幂次方的数据位标记为奇偶校验位(编号为1, 2, 4, 8, 16, 32, 64等的位置)
2、其他数据位用于待编码数据. (编号为3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17等的位置)
3、每个奇偶校验位的值代表了代码字中部分数据位的奇偶性,其所在位置决定了要校验和跳过的比特位顺序。
位置1:校验1位,跳过1位,校验1位,跳过1位(1,3,5,7,9,11,13,15,…)
位置2:校验2位,跳过2位,校验2位,跳过2位 (2,3,6,7,10,11,14,15,…)
位置4:校验4位,跳过4位,校验4位,跳过4位 (4,5,6,7,12,13,14,15,20,21,22,23,…)
位置8:校验8位,跳过8位,校验8位,跳过8位(8-15,24-31,40-47,…)
如果全部校验的位置中有奇数个1,把该奇偶校验位置为1;如果全部校验的位置中有偶数个1,把该奇偶校验位置为0.
举例说明:
一个字节的数据:10011010
构造数据字(Data Word),对应的校验位留空_ _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0
计算每个校验位的奇偶性 ( ?代表要设置的比特位):
位置1检查1,3,5,7,9,11:
? _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 偶数个1,因此位置1设为0,即: 0 _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0
位置2检查2,3,6,7,10,11:
0 ? 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1,因此位置2设为1,即: 0 1 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0
位置4检查4,5,6,7,12:
0 1 1 ? 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1,因此位置4设为1,即: 0 1 1 1 0 0 1 _ 1 0 1 0
位置8检查8,9,10,11,12:
0 1 1 1 0 0 1 ? 1 0 1 0. 偶数个1,因此位置8设为0,即: 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0
因此码字为: 011100101010.
查找并纠错一位错误
上例中构建了一个码字 011100101010,假定实际接收到的数据是011100101110. 则接收方可以计算出哪一位出错并对其进行更正。方法就是验证每一个校验位。记下所有出错的校验位,可以发现校验位2和8的数据不正确. 错误校验位 2 + 8 = 10, 则位置10的数据出错。一般说来,对所有校验位进行检查, 将所有出错的校验位置相加, 得到的就是错误信息所在的位置
错误 H1 H2 H3 H4 H5 H6 H7
C1 0 1 0 1 0 1 0 1 C1 = H1 + H3 + H5 + H7 = 0
C2 0 0 1 1 0 0 1 1 C2 = H2 + H3 + H6 + H7 = 0
C3 0 0 0 0 1 1 1 1 C3 = H4 + H5 + H6 + H7 = 0
如上表,在H 1~H 7中添加的 3 位海明码使得 C 1~C 3 的值为零。其中C 1~C 3为校验和。这样当 H n 传输出错时,有 (C 3C 2C 1) 2 = n。
令 H 1 = a 1, H 2 = a 2, H 4 = a 3,
则得出
H 7H 6H 5H 4H 3H 2H 1 = x 4x 3x 2a 3x 1a 2a 1
将上面的关系代入C 1~C 3的计算公式,得到
C 1 = H 1 + H 3 + H 5 + H 7 = a 1 + x 1 + x 2 + x 4 = 0
C 2 = H 2 + H 3 + H 6 + H 7 = a 2 + x 1 + x 3 + x 4 = 0
C 3 = H 4 + H 5 + H 6 + H 7 = a 3 + x 2 + x 3 + x 4 = 0

a 1 + x 1 + x 2 + x 4 = 0
a 2 + x 1 + x 3 + x 4 = 0
a 3 + x 2 + x 3 + x 4 = 0

a 3 = x 4 + x 3 + x 2
a 2 = x 4 + x 3 + x 1
a 1 = x 4 + x 2 + x 1

 
仔细读读下面的文字也许你就明白了:呵呵
海明码(Hamming Code )编码的关键是使用多余的奇偶校验位来识别一位错误。
码字(Code Word) 按如下方法构建:
1、把所有2的幂次方的数据位标记为奇偶校验位(编号为1, 2, 4, 8, 16, 32, 64等的位置)
2、其他数据位用于待编码数据. (编号为3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17等的位置)
3、每个奇偶校验位的值代表了代码字中部分数据位的奇偶性,其所在位置决定了要校验和跳过的比特位顺序。
位置1:校验1位,跳过1位,校验1位,跳过1位(1,3,5,7,9,11,13,15,…)
位置2:校验2位,跳过2位,校验2位,跳过2位 (2,3,6,7,10,11,14,15,…)
位置4:校验4位,跳过4位,校验4位,跳过4位 (4,5,6,7,12,13,14,15,20,21,22,23,…)
位置8:校验8位,跳过8位,校验8位,跳过8位(8-15,24-31,40-47,…)
如果全部校验的位置中有奇数个1,把该奇偶校验位置为1;如果全部校验的位置中有偶数个1,把该奇偶校验位置为0.
举例说明:
一个字节的数据:10011010
构造数据字(Data Word),对应的校验位留空_ _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0
计算每个校验位的奇偶性 ( ?代表要设置的比特位):
位置1检查1,3,5,7,9,11:
? _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 偶数个1,因此位置1设为0,即: 0 _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0
位置2检查2,3,6,7,10,11:
0 ? 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1,因此位置2设为1,即: 0 1 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0
位置4检查4,5,6,7,12:
0 1 1 ? 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1,因此位置4设为1,即: 0 1 1 1 0 0 1 _ 1 0 1 0
位置8检查8,9,10,11,12:
0 1 1 1 0 0 1 ? 1 0 1 0. 偶数个1,因此位置8设为0,即: 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0
因此码字为: 011100101010.
查找并纠错一位错误
上例中构建了一个码字 011100101010,假定实际接收到的数据是011100101110. 则接收方可以计算出哪一位出错并对其进行更正。方法就是验证每一个校验位。记下所有出错的校验位,可以发现校验位2和8的数据不正确. 错误校验位 2 + 8 = 10, 则位置10的数据出错。一般说来,对所有校验位进行检查, 将所有出错的校验位置相加, 得到的就是错误信息所在的位置

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