算法录 之 快速幂快速乘和矩阵快速幂。

1：

　　问题如下：

　　求 a^n % m 的值是多少？n是1到10^18次方的一个整数。

 

　　求一个数的n次方，朴素的算法就是直接for循环，O（N）的复杂度。

　　但是对于这个问题n实在是太大了，O（N）也会超时，那么需要更快的算法，快速幂算法。

 

　　要求 a^n，如果知道了 a^(n/2) 次方的话，再来个平方就可以了。

　　那么按照这个思路就能运用分治的思想了。

　　代码如下：　　

1 int _pow(int a,long long n,int m) {
2     if(n==0) return 1 % m;
3 
4     long long t=_pow(a,n/2,m);
5 
6     if(n%2==1) return (t*t*a) % m;
7     else return (t*t) % m;
8 }

　　如上运用分治的思想，只需要logN的复杂度就可以得到答案。

 

2：

　　问题如下：

　　f(1)=1, f(2)=1 , f(n)=a*f(n-1)+b*f(n-2)，输出n和m，求 f(n) % m 的值。n是1到10^18次方的数。

 

　　朴素的想法同上，直接一个for循环递推过去，这样复杂度是O（N）的，还是比较慢。

　　然后想到高中的数学问题，用特征方程求这个递推式的非递推通项方程，求出是 f(n)=c1*x1^n+c2*x2^n ，这样的话应用前面的快速幂就可以求解了。

　　但是x1和x2大部分情况是小数，这是求出来会有误差而且没法取模，并不能算出精确值来。

 

　　考虑矩阵这种数学工具，构造矩阵：

　　

　　则求 f(n) 的话如下：

　　

　　那么只要用快速幂求出矩阵的n-2次方来，因为都是整数，所以不会有精度问题，也就得到了正确答案。

　　也就是矩阵快速幂。

 

3，快速乘：

　　问题：

　　求 (a*b) % m 的值，其中 a,b,m 是1到10^18。

　　如果直接乘的话，因为a和b还有m都很大，那么会溢出long long，所以需要一些方法。

　　朴素的想法是用数组模拟高精度，但是比较麻烦。

 

　　还有更好的方法：

　　求乘法的列竖式，

　　1234*213=1234*3+1234*10*1+1234*10^2*2；

　　那么如果变成二进制的话 10101 × 1011 = 10101*1+10101*2^1*1+10101*2^2*0+10101*2^3*1；

　　这样代码如下：

 1 long long multi(long long a,long long b,long long m) {
 2     long long ans=0;
 3 
 4     while(b) {
 5         if(b&1) (ans+=a) %= m;
 6         (a=a*2) %= m;
 7         b/=2;
 8     }
 9 
10     return ans;
11 }

　　就是模拟了二进制的竖式乘法，因为每次最多×2，所以不会溢出。

　　这样的复杂度是 logN 的。