深入理解动态规划的一系列问题（4）
第四个动态规划问题是 最优分配问题（Optimal Allotment Problem:ALLOT），其问题描述是：有M个单位的资源，有N个人，把d个单位的资源分配给某个人有一定的成本，如何分配这些资源给这N个人，能使成本最小。这显然是一个典型的DP问题，组合优化策略，解决这个问题，首先就是要抽象DPFE动态规划方程，假设M个单位的资源，N个人，把d个单位资源分配给编号为k的人的成本计算方式为C(k,d)，0≤d≤M，1≤k≤N。回想我们列DPFE方程的思路，首先要想到的就是状态，如何定义一个状态，状态总是针对总体，总共就M个单位的资源，N个人，那么我们不妨定义状态(k,m)，其中k为已经分配到第k个人，m为此时所剩余的资源单位。于是把这个过程扩展，以k为分析点，此时对下一个人进行d个单位资源的分配，于是对于下一个过程，就应该是第k+1个人，总共剩余m-d个单位的资源，表示为状态(k+1,m-d)。这样，我们的DPFE也就初现端倪了：f(k,m)=min{C(k,d)+f(k+1,m-d)}。目标函数是计算f(1,M)，基本条件是f(N+1,m)=0当m≥0。
我们把问题具体化，有4个苹果，要分给3个小朋友，小朋友按照1-3编号，每个小朋友拿到一定个数苹果后会哭闹一段时间（因为他们是小朋友，所以会哭闹），具体时间表如下：
C(k,d)=[
∞,1.0,0.8,0.4,0.0
∞,1.0,0.5,0.0,0.0
∞,1.0,0.6,0.3,0.0
], 1≤k≤3, 0≤d≤4
k是小朋友编号，d是分给小朋友的苹果数，可以看到，当分给小朋友0个苹果时（不分苹果），那么小朋友会无休止的哭闹，而把全部（4个）苹果全部分给一个小朋友时，小朋友不会哭闹（0时间）。那么根据这个时间，提供一个最优的分苹果方案，使得小朋友们拿到苹果后的哭闹时间最短。
那么，根据这个具体问题，我们抽象的结果就是f(1,4)=1.0+0.5+1.0=2.5，最优分布是d1=1.0，d2=0.5，d3=1.0，这样的分配方案。具体解法见source code：
1: /*
2: * Copyright (C) 2013 changedi
3: *
4: * Licensed under the Apache License, Version 2.0 (the "License");
5: * you may not use this file except in compliance with the License.
6: * You may obtain a copy of the License at
7: *
8: * http://www.apache.org/licenses/LICENSE-2.0
9: *
10: * Unless required by applicable law or agreed to in writing, software
11: * distributed under the License is distributed on an "AS IS" BASIS,
12: * WITHOUT WARRANTIES OR CONDITIONS OF ANY KIND, either express or implied.
13: * See the License for the specific language governing permissions and
14: * limitations under the License.
15: */
16: package com.jybat.dp;
17:
18: import java.util.HashMap;
19: import java.util.Map;
20:
21: public class ALLOT {
22:
23: private static int N = 3;
24: private static int M = 4;
25:
26: private static final double INF=Double.MAX_VALUE;
27:
28: private static Map<Integer,Integer> choices = new HashMap<Integer,Integer>();
29:
30: private static final double [][] c = {
31: {INF,1.0,0.8,0.4,0.0},
32: {INF,1.0,0.5,0.0,0.0},
33: {INF,1.0,0.6,0.3,0.0}
34: };
35:
36: private static double cost(int k, int d) {
37: return c[k-1][d];
38: }
39:
40: public static double f(int k, int m){
41: if(k>N&&m>=0) return 0.0;
42: else{
43: double mm = Double.MAX_VALUE;
44: int dispatch = -1;
45: for(int d=0;d<=m;d++){
46: double t = cost(k,d)+f(k+1,m-d);
47: if(t<mm) {
48: mm = t;
49: dispatch = d;
50: }
51: }
52: if(!choices.containsKey(k))
53: choices.put(k, Integer.MAX_VALUE);
54: if(mm<choices.get(k))
55: choices.put(k,dispatch);
56: return mm;
57: }
58: }
59: /**
60: * @param args
61: */
62: public static void main(String[] args) {
63: double minCost = f(1,M);
64: System.out.println("min cost is : "+minCost);
65: System.out.print("solution is : ");
66: for(int i=1;i<=N;i++){
67: System.out.print(choices.get(i));
68: if(i<N)
69: System.out.print(",");
70: }
71: }
72:
73: }
PS:因为考虑到这里的选择不是很长的代码，可能不影响理解DP，所以把记录选择方案的代码也加进来了。