递归算法讲解

  递归是设计和描述算法的一种有力的工具，由于它在复杂算法的描述中被经常采用，为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 
   能采用递归描述的算法通常有这样的特征：为求解规模为N的问题，设法将它分解成规模较小的问题，然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解，并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法，分解成规模更小的问题，并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地，当规模N=1时，能直接得解。 
【问题】    编写计算斐波那契（Fibonacci）数列的第n项函数fib（n）。 
   斐波那契数列为：0、1、1、2、3、……，即： 
     fib(0)=0; 
     fib(1)=1; 
     fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)      （当n>1时）。 
写成递归函数有： 
int fib(int n) 
{    if (n==0)      return 0; 
   if (n==1)      return 1; 
   if (n>1)      return fib(n-1)+fib(n-2); 
} 
   递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段，把较复杂的问题（规模为n）的求解推到比原问题简单一些的问题（规模小于n）的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说，为计算fib(n)，必须先计算fib(n-1)和fib(n-2)，而计算fib(n-1)和fib(n-2)，又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推，直至计算fib(1)和fib(0)，分别能立即得到结果1和0。在递推阶段，必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中，当n为1和0的情况。 
   在回归阶段，当获得最简单情况的解后，逐级返回，依次得到稍复杂问题的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的结果，……，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后，返回得到fib(n)的结果。 
   在编写递归函数时要注意，函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层，当递推进入“简单问题”层时，原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层，它们各有自己的参数和局部变量。 
   由于递归引起一系列的函数调用，并且可能会有一系列的重复计算，递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时，通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法，即从斐波那契数列的前两项出发，逐次由前两项计算出下一项，直至计算出要求的第n项。 
【问题】    组合问题 
问题描述：找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5，r=3的所有组合为：    （1）5、4、3      （2）5、4、2      （3）5、4、1 
       （4）5、3、2      （5）5、3、1      （6）5、2、1 
       （7）4、3、2      （8）4、3、1      （9）4、2、1 
       （10）3、2、1 
   分析所列的10个组合，可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时，其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m 个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字，约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中，当一个组合求出后，才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k，函数将确定组合的第一个数字放入数组后，有两种可能的选择，因还未去顶组合的其余元素，继续递归去确定；或因已确定了组合的全部元素，输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 
【程序】 
# include    
# define    MAXN    100 
int    a[MAXN]; 
void    comb(int m,int k) 
{    int i,j; 
   for (i=m;i>=k;i--) 
   {    a[k]=i; 
     if (k>1) 
       comb(i-1,k-1); 
     else 
     {    for (j=a[0];j>0;j--) 
         printf(“%4d”,a[j]); 
       printf(“\n”); 
     } 
   } 
} 

void main() 
{    a[0]=3; 
   comb(5,3); 
} 
【问题】    背包问题 
问题描述：有不同价值、不同重量的物品n件，求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案，使选中物品的总重量不超过指定的限制重量，但选中物品的价值之和最大。 
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1，物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案，并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ]，该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案，其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品，现在要考虑第i件物品；当前方案已包含的物品的重量之和为tw；至此，若其余物品都选择是可能的话，本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时，继续考察当前方案变成无意义的工作，应终止当前方案，立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时，该方案不会被再考察，这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。
对于第i件物品的选择考虑有两种可能： 
（1）    考虑物品i被选择，这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后，继续递归去考虑其余物品的选择。 
（2）    考虑物品i不被选择，这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 
按以上思想写出递归算法如下： 
try(物品i，当前选择已达到的重量和，本方案可能达到的总价值tv) 
{    /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ 
   if(包含物品i是可以接受的) 
   {    将物品i包含在当前方案中； 
     if (i<n-1)
       try(i+1,tw+物品i的重量,tv); 
     else 
       /*又一个完整方案，因为它比前面的方案好，以它作为最佳方案*/ 
以当前方案作为临时最佳方案保存; 
       恢复物品i不包含状态； 
     } 
     /*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ 
     if (不包含物品i仅是可男考虑的) 
       if (i<n-1)
         try(i+1,tw,tv-物品i的价值)； 
       else 
         /*又一个完整方案，因它比前面的方案好，以它作为最佳方案*/ 
以当前方案作为临时最佳方案保存; 
   } 
   为了理解上述算法，特举以下实例。设有4件物品，它们的重量和价值见表： 
物品    0    1    2    3 
重量    5    3    2    1 
价值    4    4    3    1 

并设限制重量为7。则按以上算法，下图表示找解过程。由图知，一旦找到一个解，算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解，算法不会在该分支继续查找，而是立即终止该分支，并去考察下一个分支。 

按上述算法编写函数和程序如下： 
【程序】#include "stdafx.h"
# include    
# define    N    100
float    limitW,maxV;
float totV=0;
int    option[N],cop[N];
struct    {   
    float    weight;
    float    value;
}a[N];
int    n;
void find(int i,float tw,float tv)
{   
    int k;
    /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/
    if (tw+a[i].weight<=limitW)
    {  
        cop[i]=1; 
        if (i<n-1)   
            find(i+1,tw+a[i].weight,tv);
        else 
        {  
            for (k=0;k<n;k++) 
                option[k]=cop[k]; 
            maxV=tv; 
        } 
        cop[i]=0;
    }
    /*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/
    if (tv-a[i].value>maxV)
        if (i<n-1)   
            find(i+1,tw,tv-a[i].value);
    else
    { 
        for (k=0;k<n;k++)
            option[k]=cop[k]; 
        maxV=tv-a[i].value;
    }
}

void main()
{  
    int k;
    float w,v;
    printf("输入物品种数\n");
    scanf("%d",&n);
    printf("输入各物品的重量和价值\n");
    for (totV=0.0,k=0;k<n;k++)
    {  
        scanf("%1f%1f",&w,&v);
        a[k].weight=w;
        a[k].value=v;
        totV+=v;
    }

    printf("输入限制重量\n");
    scanf("%1f",&limitW);
    maxV=0.0;
    for (k=0;k<n;k++)   
        cop[k]=0;
    find(0,0.0,totV);
    for (k=0;k<n;k++)
        if (option[k])   
            printf("%4d",k+1);
    printf("\n总价值为%.2f\n",maxV);
} 

   作为对比，下面以同样的解题思想，考虑非递归的程序解。为了提高找解速度，程序不是简单地逐一生成所有候选解，而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解，一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况：当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制，该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的；反之，该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地，仅当物品不被包括在候选解中，还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时，才去考虑该物品不被包括在候选解中；反之，该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案，程序就去进一步考虑下一个物品。 
【程序】 
#include "stdafx.h"
# include    
# define    N    100
float    limitW;
int    cop[N];
struct    ele    {   
    float    weight;         
    float    value;
} a[N];
int    k,n;
struct    {    
    int      flg;
    float    tw;
    float    tv;
}twv[N];
void next(int i,float tw,float tv)
{   
    twv[i].flg=1;  
    twv[i].tw=tw;  
    twv[i].tv=tv;
}
float find(struct ele *a,int n)
{    
    int i,k,f;
    float maxv,tw,tv,totv;
    maxv=0;
    for (totv=0.0,k=0;k<n;k++)
        totv+=a[k].value;
    next(0,0.0,totv);
    i=0;
    while (i>=0)
    {   
        f=twv[i].flg;    
        tw=twv[i].tw;
        tv=twv[i].tv;
    
        switch(f) 
        {         
        case 1:    
            twv[i].flg++;
            if (tw+a[i].weight<=limitW)
            {
                if (i<n-1)
                {    
                    next(i+1,tw+a[i].weight,tv);
                    i++;
                }
                else
                {    
                    maxv=tv;          
                    for (k=0;k<n;k++)
                        cop[k]=twv[k].flg!=0;
                }
            }
            break;
       case 0:    
            i--;
            break;
       default:    
            twv[i].flg=0;
            if (tv-a[i].value>maxv)
            {
                if (i<n-1)
                {   
                    next(i+1,tw,tv-a[i].value);
                    i++;
                }
                else
                {    
                    maxv=tv-a[i].value;
                    for (k=0;k<n;k++)
                        cop[k]=twv[k].flg!=0;
                }
            }
            break;
        }
    }
   return maxv;
}

void main()
{    
    float maxv;
    printf("输入物品种数\n");
    scanf("%d",&n);
    printf("输入限制重量\n");
    scanf("%1f",&limitW);
    printf("输入各物品的重量和价值\n");
    for (k=0;k<n;k++)
        scanf("%1f%1f",&a[k].weight,&a[k].value);
    maxv=find(a,n);
    printf("\n选中的物品为\n");
    //for (k=0;k<n;k++)
    //    if (option[k])    
    //        printf("%4d",k+1);
    printf("\n总价值为%.2f\n",maxv);
}