【线性代数公开课MIT Linear Algebra】 第九课 向量与矩阵的桥梁

本系列笔记为方便日后自己查阅而写,更多的是个人见解,也算一种学习的复习与总结,望善始善终吧~

线性无关(independence)

对于一堆向量(向量组) v1,v2,v3...vn ,若他们的线性组合(linear combination)不为零向量,则称他们线性无关

注意,线性组合时不能让 所有的 系数(scalar)取零,换个角度理解就是任取其中一个向量,该向量无法由其他向量线性组合得到。话已至此,向量组的线性无关就与之前我们学习的矩阵有了联系。

基(basics)

基,basics,强调英文的原因在于复数形式代表基是 一组 向量,其有两个性质:
1. 线性无关(independence)
2. 他们所有的线性组合构成一个space(像之前介绍的column space)
我们最熟悉的基:xyz,基的数量就是其组成space的维数dimension
( R3 的基basics并非只有xyz,你可以很容易找到其他的一组基,实际上这样的基有无数组,如 [1,2,3],[3,4,5],[5,6,9] ,另外 [1,2,3],[2,5,6] 也是一组基,不过它们是其组成的平面的基,维数为2)

从向量组到矩阵

我们把向量组中的向量当做矩阵的column vector写成一个矩阵的形式,观察我们的column space,利用上一节课的内容我们可以找到pivot column,而free column可以由pivot column线性组合得到,有没有很眼熟?

pivot column原始的vector 就是组成的column space的basics,在矩阵中我们把pivot column的数目叫做rank(秩),在向量中我们叫basics中vector的数量dimension 维度,即
dim(C(A))=rank(A)
( A 为矩阵, C(A) 为其column space)

目前所学还差一个space没有和向量挂上钩,null space, Ax=0 的解所在的space,null space就是各取一列free column,用pivot的线性组合可以得到free column,其系数scalar就是一组解 x ,,乘以任意常数得到 cx 都是解, cx 就是一个vector,这里老师直接丢了结论:

组成null space的这些vector就是null space的basics

也写一个关于null space的结论:
dim(null(A))=Nrank(A)
( A 为矩阵, null(A) 为其null space, N为矩阵的列数)

PS:更详细的课堂笔记见另一位仁兄的笔记
http://blog.csdn.net/suqier1314520/article/details/12584479
PS2:文中各种英文的原因在于我急于熟悉这些概念的英文名称,而一直重复记录和理解是我目前能想到的一个笨办法

你可能感兴趣的:(纬度,线性无关,基,线性相关)