一步步学算法(算法题解)---4

本人大二，最近开始自学算法，在此记录自己学习过程中接触的习题。与君共勉。

水平有限，目前涉及的题目都比较水。

题目分布为5+1.  5为自己学习的5道水题。 1为从网上找到的比较有水平的相关题目。

一步步学算法(算法题解)---4

穷举法。

穷举算法是程序设计中使用得最为普遍、大家必须熟练掌握和正确运用的一种算法。它利用计算机运算速度快、精确度高的特点，对要解决问题的所有可能情况，一个不漏地进行检查，从中找出符合要求的答案。

    用穷举算法解决问题，通常可以从两个方面进行分析：

    一、问题所涉及的情况：问题所涉及的情况有哪些，情况的种数可不可以确定。把它描述出来。

    二、答案需要满足的条件：分析出来的这些情况，需要满足什么条件，才成为问题的答案。把这些条件描述出来。

1.勾股数

问题描述:

编写一个程序,求出100之内所有勾股数。 

问题分析:

可设置I为一斜边(0〈=i〈100〉,j,m为直角边(j,k〈i〉,用两重循环求出所有满足条件的i,j值时m的值,并对m进行判断,判断m是否是一个小于斜边i的完全平方数。若满足该条件,则记数变量n加1 

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main()
{
    int i, j, k, n = 1;
    
    for (i=1; i<100; i++)
    {
        for (j=1; j<i; j++)
        {
            k = sqrt(i*i-j*j);
            if ((k*k == i*i-j*j) && (k <= j))
            {
                printf("%d : %d,%d,%d\n", n++, i, j, k);
            }
        }
    }
    return 0;
}

/**********************************
 打印结果：
 1 : 5,4,3
 2 : 10,8,6
 3 : 13,12,5
 4 : 15,12,9
 5 : 17,15,8
 。。。。。。。。。。。。。
 
 **********************************/

2.亲密数

问题描述:

求出10000以内的亲密数.亲密数:如果A的因子和为B,B的因子和为A,则A与B为亲密数.

正整整A的因子:能整除A的所有正整数(除A本身)。如12的因子为:1,2,3,4,5,6. 

问题分析:

无非就是遍历。查找1000以内满足条件的所有亲密数。本题用一函数来计算所求数的因子和,可降低其复杂度。

#include <stdio.h>

int fsum(int a)
{
    int i, sum = 1;
    for (i=2; i<=a/2; i++)
        if(a%i==0)
            sum += i;
    return sum;
}
int main()
{
    int a, b, c;
    for (a=1; a<=10000; a++)
    {
        b = fsum(a);
        c = fsum(b);
        if ( a==c && b!=a)
            printf("%8d,%8d\n", a, b);
    }
    return 0;
}

/**********************************
 打印结果：
 220,     284
 284,     220
 1184,    1210
 1210,    1184
 2620,    2924
 2924,    2620
 5020,    5564
 5564,    5020
 6232,    6368
 6368,    6232
 **********************************/

3。四方定理

问题描述:

编程验证"四方定理":任意一个自然数都能由四个数的平方和来表示. 

问题分析:

这类问题最主要的是考虑循环变量的起始与终止取值.这个程序中使用了四个循环,其实只须三个循环就能解决这个问题,大家不妨试一试. 

#include "math.h"
#include "stdlib.h"

void check_(int i)
{
    int arr_[4];  //用来纪录4个数
    int t;
    t = i;  
    for (arr_[0]=sqrt(t); arr_[0]>=sqrt(t/2); arr_[0]--)
    {
        t -= arr_[0] * arr_[0];
        for (arr_[1]=sqrt(t); arr_[1]>=sqrt(t)/2; arr_[1]--)
        {
            t -= arr_[1] * arr_[1];
            for (arr_[2]=sqrt(t); arr_[2]>=sqrt(t)/2; arr_[2]++)
            {
                t -= arr_[2] * arr_[2];
                for (arr_[3]=sqrt(t); arr_[3]>=sqrt(t)/2; arr_[3]++)
                    if (arr_[0]*arr_[0]+arr_[1]*arr_[1]+arr_[2]*arr_[2]+arr_[3]*arr_[3]==i)
                    {
                        printf("%5d %5d %5d %5d",arr_[0],arr_[1],arr_[2],arr_[3]);
                        exit(0);
                    }
            }
        }
    }
    printf("无解!");
}

int main()
{
    int n;
    printf("请输入一个整数:");
    scanf("%d",&n); 
    check_(n);
    return 0;
}

/**********************************
 打印结果：
 请输入一个整数:12
 3     1     1     1
 **********************************/

4。双百问题

问题描述:

王大娘要用100元钱买100头小牲畜,不多不少要求“双百”。若小牛每头10元,羊羔每只3元,小兔每只0.5 元。请你替她算算应该怎样买法? 

问题分析:

用变量i,j分别表示牛,羊的头数,则买牛需I*10元,买羊需i*3元,这时可算出剩下的钱以及剩下的钱所能买小兔的头数,根据三种小牲畜的总头数即可求得解。 

#include "stdlib.h"

int main()
{
    int i, j, k, m;
    for (i=0; i<=10; i++)
        for (j=0; j<=(100-i*10)/3; j++)
            if ((i+j+(100-i*10-j*3)*2) == 100)
                printf("%d %d %d\n",i,j,(100-i*10-j*3)*2);
    return 0;
}
/**********************************
 打印结果：
 0 20 80
 5 1 94
 **********************************/

5.连续和数。

问题描述:

请找出十三个连续的自然数,个个都是合数。 

问题分析:

所谓“合数”,就是非素数,下面的解法是用flag作为是否是合数的标志,count用来计数。

#include "stdlib.h"
#include <math.h>

int main()
{
    int count = 0, i = 9, j , flag;
    do
    {
        flag = 0;
        for (j=3; j<=sqrt(i); j++)
            if (i%j==0)
                flag=1;
   
        if (flag==0)
            count = 1;
        else
            count += 2;
    
        i += 2;
    }while (count<13);
    
    for (j=i-13; j<i;j++)
        printf("%d ",j);
    
    return 0;
}
/**********************************
 打印结果：
114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 
 **********************************/

6*使用穷举法解决0—1背包问题

问题描述：

有不同价值、不同重量的物品n件，求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案，使选中物品的总重量不超过指定的限制重量，但选中物品的价值之和最大。

问题分析：

设n个物品的重量和价值分别存储于数组w[ ]和v[ ]中，限制重量为tw.考虑一个n元组（x0，x1，…，xn-1），其中xi=0 表示第i个物品没有选取，而xi=1则表示第i个物品被选取。用枚举法解决背包问题，需要枚举所有的选取方案，而根据上述方法，我们只要枚举所有的n元组，就可以得到问题的解。

    显然，每个分量取值为0或1的n元组的个数共为2n个。而每个n元组其实对应了一个长度为n的二进制数，且这些二进制数的取值范围为0～2n-1.因此，如果把0～2n-1分别转化为相应的二进制数，则可以得到我们所需要的2n个n元组。

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define MAX 100                      // 限定最多物品数
/*将n化为二进制形式，结果存放到数组b中*/
void conversion(int n,int b[MAX])
{
    int i;
    for(i=0;i<MAX;i++)
    {
        b[i] = n%2;
        n = n/2;
        if(n==0)break;
    }
    
}

int main()
{
    int i,j,n,b[MAX],temp[MAX];
    float tw,maxv,w[MAX],v[MAX],temp_w,temp_v;
    printf("please input n:\n");
    scanf("%d",&n);   // 输入物品个数
    printf("please input tw:");
    scanf("%f",&tw);    // 输入背包的限制重量
    /*输入各个物品的重量*/
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        printf("please input the weight of w[%d]:\n",i);
        scanf("%f",&w[i]);
    }
    /*输入各个物品的价值*/
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        printf("please input the value of v[%d]:\n",i);
        scanf("%f",&v[i]);
    }
    maxv = 0;
    /*穷举2n个可能的选择，找出物品的最佳选择*/
    for (i=0;i<pow(2,n);i++)
    {
        for (j=0;j<n;j++)
        {
            b[j] = 0;
        }
        conversion(i,b);
        temp_v = 0;
        temp_w = 0;
        for (j=0;j<n;j++)
        {
            if (b[j]==1)
            {
                temp_w = temp_w+w[j];
                temp_v = temp_v + v[j];
            }
        }
        /*试探当前选择是否是最优选择，如果是就保存下来*/
        if ((temp_w < tw)&&(temp_v>maxv))
        {
            for (j=0;j<n;j++)
            {
                temp[j] = 0;
            }
            maxv = temp_v;
            for (j=0;j<n;j++)
            {
                temp[j] = b[j];
            }
        }
    }
    printf("the max values is %f:\n",maxv); // 输出放入背包的物品的最大价值
    printf("the selection is:\n");
    /*输出物品的选择方式*/
    for (j=0;j<n;j++)
    {
        
        printf("%d   ",temp[j]);
    }
    
    return 0;
}
/**********************************
 打印结果：
 please input n:
 3
 please input tw:100
 please input the weight of w[0]:
 30
 please input the weight of w[1]:
 80
 please input the weight of w[2]:
 60
 please input the value of v[0]:
 20
 please input the value of v[1]:
 70
 please input the value of v[2]:
 60
 the max values is 80.000000:
 the selection is:
 1   0   1
 **********************************/