【线性代数公开课MIT Linear Algebra】 第十八课 行列式的性质

本系列笔记为方便日后自己查阅而写，更多的是个人见解，也算一种学习的复习与总结，望善始善终吧~

行列式 determinant

行列式最早是应用在用来判断方程组是否有解，在矩阵被发明后，行列式就拥有了更多的性质和应用。其强大之处在于将整个矩阵的信息压缩到了一个值当中。

所以行列式的英文名为determinant：决定因素，因为他可以决定方程组是否有解即矩阵是否可逆，从另外一个角度来理解，行列式代表了这个矩阵的特征，这是学习特征分解的前置概念。

行列式的性质

老师在课上讲解了行列式的性质，三个最基础的性质：

1. det(I)=1 单位矩阵的行列式determinant为1
2. 交换矩阵任意两行，行列式的值取负
3. 行列式计算对于矩阵的行 而言是一种线性运算，例子：

这里强调只对矩阵的行有效的原因在于：该运算对矩阵本身并非线性即 det(A+B)!=det(A)+det(B)
其他的性质都可以由这三个最基础的性质推导出来：
4. 当矩阵中有两行相同时，其行列式为0。（由2推导）
5. 第i行减去第j行的k倍(即我们在消元时进行的操作)，其行列式不变（由3推导）
6. 矩阵中有一行全部为0，其行列式为0.（由3推导，乘0系数）
7. 如果矩阵为上三角或下三角，那么行列式为对角线上元素的积。（由3推导，可以化简成出了对角线全是0）
8. 矩阵的行列式为0是该矩阵不可逆的充分必要条件，行列式不为0是该矩阵可逆的充分必要条件。（由7推导，我们消元的过程即LU分解，若可逆则LU中不存在全0的行，行列式不为0）
9. det(AB)=det(A)det(B) （由7推导, A,B 都可以化为上三角）
10. det(AT)=det(A) （由7推导,
     det(AT)=det(A)
⇒det((LU)T)=det(LU)
⇒det(UTLT)=det(LU)
⇒det(UT)det(LT)=det(L)det(U) ，显而易见成立）

摧毁整门学科的性质

看看我们的性质2，交换两行，行列式值取负，那么，如果我交换7次或者10次之后得到矩阵本身，怎么办？！按理来说交换7次行列式取负，可我得到了它本身啊？自相矛盾啊怎么办？！于是整个学科废了！然后老师就说其实permutation是有区分奇数次和偶数次的
我没听懂啊喂！！
我没听懂啊喂！！
我没听懂啊喂！！
什么叫区分奇数次和偶数次啊？老师，我连怎么交换7次得到本身都做不到啊！！！
求指导

PS：另一位仁兄的笔记
http://blog.csdn.net/suqier1314520/article/details/13774227