关于母函数(类似背包)

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For example:
(1+x)^n是序列C(n,0),C(n,1),...,C(n,n)的母函数。 
     如若已知序列a0，a1，a2，…则对应的母函数G(x)便可根据定义给出。
反之，如若已经求得序列的母函数G(x)，则该序列也随之确定。 
     序列a0，a1，a2，…可记为{an} 。 
实 例 分 析
例一、若有1克、2克、3克、4克的砝码各一 枚，能称出哪几种重量？各有几种可能方案？ 
如何解决这个问题呢？考虑构造母函数。
如果用x的指数表示称出的重量，则：
1个1克的砝码可以用函数1+x表示，
1个2克的砝码可以用函数1+x2表示，
1个3克的砝码可以用函数1+x3表示，
1个4克的砝码可以用函数1+x4表示
几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示： 
(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)
=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)
=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10 
从上面的函数知道，可称出从1克到10克，系数便是方案数。

例如右端有2x5 项，即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1，同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。故称出6克的方案有2，称出10克的方案有1 .

 

例二、若有1元、5元、10元、20元、50元的人民币一堆，能凑出100元有几种可能方案？

如何解决这个问题呢？考虑构造母函数。

类似于非完全背包问题，

如cost[5] = {1, 5, 10, 20, 50}

num[5] = {50, 61, 23, 21, 11}

背包大小为100.

母函数构造如下：

(1+x1+x2+x3+.....+x50)*(1+x5+x10+x15+...+x305)*(1+x10+x20+...+x230)*(1+x20+x40+x60+....+x420)*(1+x50+x100+...+x550)

求最后x100的系数，即为所求。

前i个数的选择

f[i][v] = SUM( f[i-1][ v-k*cost[i]] ) (0<=k<=num[i] && v-k*cost[i]>=0)

代码如下：

cost[]={1,5,10,20,50,100};
num[]={50,61,...};
pack[101] ={0};
pack[0] =1;

for(int i = 0; i<cost.length; i++)
for(int j=100; j>=1; j--) //必须逆序 
{ 
	if(pack[j] != 0) 
	{	
		k=0; 
		while(k<=num[i] && j+k*cost[i] <=100) 
	    { a[j+k*b[i]] += a[j]; k++; 
		} 
	}
}
cout<<a[100]<<endl;

////////////////////////// another method
f[0]=1; //init
for(int i=0; i<cost.length; i++)
for(int v=100; v>=0; v++)
{
	int times = num[i];
	for(int k=v; k>=0 && times-->=0; k-=cost[i]) 
	{
		if(pack[k]==0) continue; 
		pack[v] += pack[k];
	}
}
cout<<pack[100]<<endl;