从蓝桥杯来谈Fibonacci数列

2014年蓝桥杯的第九题是这样描述的：

    

    给定Fibonacci数列F[]，其中，，求表达式

       

    

    的值。其中

在讲解这道题之前，我们先来看一个简单版的。题目如下：

题目：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1194

分析：可以看出本题就是直接求,虽然这里的很大，但是比较小啊，只到1000，那么实际上

     在Fibonacci数列中有很多有用的性质，比如：

     

     实际上，这个两个公式的推导过程也比较简单。（两种证明方法：带入公式验证；数学归纳法）

    

     所以，我们可以这样来把原表达式变形，即：

     

   

      那么，我们继续对用同样的方法递归下去，容易得到：

      

      可以看出，到了这一步，我们就把所有的Fibonacci数列的下标减小了，基本可以直接计算了。

                

      因为，所以我们得到。

      所以到了这里，本题基本就说完了，只需要预处理前1000个Fibonacci数列即可。代码如下：

import java.io.*;
import java.util.*;
import java.math.BigInteger;

public class Main {
	
	final static int N = 1005;
	static BigInteger F[] = new BigInteger[N];
	
	static void Init(){
		F[0] = BigInteger.ZERO;
		F[1] = BigInteger.ONE;
		for(int i=2;i<N;i++)
			F[i] = F[i-1].add(F[i-2]);
	}
	
	public static void main(String[] args){
		Init();
		Scanner cin = new Scanner(System.in);
		int T = cin.nextInt();
		while(T-- != 0){
			long n = cin.nextLong();
			int k = cin.nextInt();
			int x = (int)(n % k);
			long y = n / k;
			int sign = 1;
			if((k & 1) == 1)
				sign = -1;
			BigInteger ans = F[x];
			
			if(sign == 1){
				if((y & 1L) == 1L)
					ans = ans.multiply(F[k-1]);
			}
			else{
				if((y & 1L) == 1L)
					ans = ans.multiply(F[k-1]);
				y >>= 1;
				if((y & 1L) == 1L) 
					ans = ans.multiply(F[k].subtract(BigInteger.ONE));
			}
			System.out.println(ans.mod(F[k]));
		}
	}
}

完美解出上题后，我们来看2014年蓝桥杯的C++ A组的第九题，题目描述在文章开始处。

可以看出本题的难点在于很大，所以导致也会很大，当然求和的那部分是很简单的。

因为，那么就有

 

所以我们可以把原问题简单模型化为求。

 

 

经过上面简单版题目的介绍，我们知道

 

 

又知道

 

 

那么分为奇偶情况进行讨论：

 

 

一.为偶数时

    很明显，这样我们再分为奇偶进行讨论

 

   （1）如果为偶数，那么有

 

   （2）如果为奇数，那么有

 

 

二.为奇数时

 

    得到，再继续分的奇偶和的奇偶情况进行讨论

 

   （1）如果为偶数且为偶数，那么

 

   （2）如果为偶数且为奇数，那么

 

   （3）如果为奇数且为偶数，那么

 

   （4）如果为奇数且为奇数，那么

 

 

从上面的所有情况来看，难点就在于如何进一步简化。

 

对于这个问题，我们还有另一个性质

 

性质：若，则

 

可以看出，再对比，可知。

 

我们令，那么利用上述性质，我们替换一下：，得到：

 

，变换一下顺序，即

 

，所以

 

 

可以看出，所以再分的奇偶性进行讨论：

 

（1）为奇数时，

 

（2）为偶数时，

 

到了这里，我们就对进行了简化，那么再对取余用矩阵快速幂解决即可。

 

最后，来看一道类似的题目。描述如下

题目：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1365

代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2;
const int MOD = 1000000007;

struct Matrix
{
	LL m[N][N];
};

Matrix I = {
	1, 0,
	0, 1
};

Matrix A = {
	1, 1,
	1, 0
};

Matrix multi(Matrix A, Matrix B)
{
	Matrix C;
	for(int i = 0; i < N; i++)
	{
		for(int j = 0; j < N; j++)
		{
			C.m[i][j] = 0;
			for(int k = 0; k < N; k++)
				C.m[i][j] += A.m[i][k] * B.m[k][j];
			C.m[i][j] %= MOD;
		}
	}
	return C;
}

Matrix Power(Matrix A, LL n)
{
	Matrix ans = I, P = A;
	while(n)
	{
		if(n & 1)
		{
			ans = multi(ans, P);
			n--;
		}
		n >>= 1;
		P = multi(P, P);
	}
	return ans;
}

//计算F(n) % MOD
LL getFun(LL n)
{
	Matrix ans = Power(A, n);
	return ans.m[1][0];
}

//计算F(m - 1) * F(n % m) mod F(m)
LL getRes(LL n, LL m)
{
	LL k = n % m;
	if(k & 1)
		return getFun(m - k);
	return ((getFun(m) - getFun(m - k)) % MOD + MOD) % MOD;
}

LL Solve(LL n, LL m)
{
	LL t1 = n / m;
	if(m & 1)
	{
		LL t2 = t1 >> 1;
		if(t1 % 2 == 0 && t2 % 2 == 0)
			return getFun(n % m);
		if(t1 % 2 == 0 && t2 % 2 == 1)
			return ((getFun(m) - getFun(n % m)) % MOD + MOD) % MOD;
		if(t1 % 2 == 1 && t2 % 2 == 0)
			return getRes(n, m);
		if(t1 % 2 == 1 && t2 % 2 == 1)
			return ((getFun(m) - getRes(n, m)) % MOD + MOD) % MOD;
	}
	else
	{
		if(t1 & 1)
			return getRes(n, m);
		else
			return getFun(n % m);
	}
}

LL getResponse(LL n, LL m)
{
//	n += 2;
	LL res = Solve(n, m);
//	if(res == 0)
//		return getFun(m) - 1;
//	return res - 1;
	return res;
}

int main()
{
	int T;
	scanf("%d", &T);
	while(T--)
	{
		LL n, k;
		scanf("%lld %lld", &n, &k);
		printf("%lld\n", getResponse(n, k));
	}
	return 0;
}