有理数集合是可数集合，无理数集合是不可数集合

以下介绍的是康托想出的有理数与自然数对应方式，表中的 (p, q) 表示 p/q。 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) … (1, n) … (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) … (2, n) … … … … (m, 1) (m, 2) (m, 3) (m, 4) … (m, n) … 表中 p+q 的值在同一个由右下至左上同一列是相等的，由左上角 (1, 1) 开始，p+q 的值是 2，之后是 (2, 1) 和 (1, 2)，而 p+q 的值是 3，这样一直排下去，(1, 1),(2, 1),(1, 2),(1, 3),(2, 2),(3, 1),(4, 1),...，就把有理数一个个地排成一列。这样，有理数集是有序集合了（可数集合）。所以，有理数集能与自然数集一一对应，可说成两个集合元素个数相同

要证明无理数集是不可数集，按照下面的步骤就可以证明（可以把前三个看成是引理）：

1先证有理数集是可数集：
建立这样一个映射: 对于任意一个有理数m/n(既约)，构造映射
y=(2^n)(3^m)，y是自然数，那么对于不同的m/n，一定有不同的自然数y。所以自然数集的基数不少于有理数集的基数。反过来，自然数是有理数的子集，所以自然数集的基数又不大于有理数集的基数，综上，两集合基数相等，所以有理数集是可数集。

2再证有限个可数集的并集还是可数集。容易找到一种排列顺序，把这可数个可数集的元素按顺序排列起来，这就证明了它的可数性。

3接着证实数集是不可数集，关于这个的证明很多教材上都有，也有不止一种方法，我就不赘述了，基本是用反证法，即先用一种排列去表示实数集，再由这种表示法推出一定有一个实数不能被这种排列所表示，由此推出矛盾。

4最后证明无理数集是不可数集。反证：因为如果无理数集是可数集，那么实数集等于有理数与无理数的并，也应该是可数集，与实数集是不可数集矛盾，所以无理数集是不可数集

摘自：http://wenda.tianya.cn/wenda/thread?sort=wsmopts&tid=71de5219f36fff22

证明实数是不可数集合：
假设实数是可数集合，则可列出（0，1）间的所有实数：
0.t11t12.....t1n
0.t21t22.....t2n
0.t31t32.....t3n
......
现在可以找出一个实数H=0.ti1ti2...tin, 令ti1!=t11,ti2!=t22,...tii!=tnn(这个数是可以找到的)，那么可知H是不在上面列出的所有实数中的，所以假设不成立，得出实数不可数。

可数集合：能和自然数一一对应的集合，同理有理数也和自然数一样是可数的，因此无理数只能是不可数集合了。这也证明了无理数比有理数要多。