Walsh函数：极度的数学美

 Walsh函数取值简单，仅取0和1两个值，但是它们在这两个值之间频繁地跃变，似乎比三角函数要复杂得多。

表面上复杂的函数，多种的排序方式，依据表达式难以作出它们的图形，传统的数学处理方法（如微积分）难以奏效，但它竟然是由一个简单的方波演化生成的。从方波R(x) = 1处罚，经过伸缩平移的二分手续即可加工出Walsh函数系。这是个完备的正交函数系，它可以用来逼近一般的复杂函数f(x)，即有

 

 

事实：任何复杂函数f(x)都是简单的方波R(x)二分演化的结果。（yathing：它这里的“复杂函数”，指的是Walsh函数系中的函数，还是泛指所有的函数吧！按照上面的分析，“可以用来逼近一般的复杂函数”，那么就是泛指了！）

Walsh函数是逐族演化生成的。第k族Walsh函数W_k表现为一个2^k阶方阵，称为Walsh方阵。Walsh方阵可用复制技术演化生成。复制（Clone），是一类最简单、最基本的演化技术。

Walsh函数的复制过程具有鲜明的对称美。所谓对称，其本质是互反性。（yathing：为了说明“对称美”，作者举了个例子：剖析快速Walsh变换FWT的设计机理，其结论是奇妙的：FWT的设计过程本质上是Walsh函数演化过程的反过程。不过，yathing最关心的是：FWT有什么作用？Walsh函数演化，还能够给我们提供这样的算法吗？是不是不同的Walsh模型都能够“反过程”一下，从而得出相应的设计？）

 

Walsh分析的另一个特点是有序性。Walsh函数的演化机制可以用它的序码来刻画（yathing理解：通过观察它的序码，我们就可以知道它演化到什么阶段了）。

 

从Walsh分析的研究中可以领悟到，复杂与简单其实是事务相互对立而又彼此依存的两重属性。Walsh函数的数学表达式是复杂的，但用演化机制来描述，则其生成机制显得很简单。基于演化法则的对称性，Walsh函数表现为多种排序方式，不同排序方式的Walsh变换又拥有形形色色的快速算法......然而进一步深入研究将会发现，只要抓住一种基本算法，然后“反其道而行之”，即可一生二、二生四......派生出其它种种算法（yathing：有这么容易吗？这个“派生”的过程是人做的，还是计算机做的？要是人做，人怎么验证这么多派生的算法是有效的？如果交给计算机做，那我们人类还有什么用处？），从而使快速变换的算法体系呈现出极度的简单性。这表明，科学探索实际上是循着“复杂-简单-再复杂-再简单”的途径向前推进。这是个螺旋式上升的过程。

 

参考文献：算法演化论 王能超 高等教育出版社