模拟退火算法解旅行商（TSP）问题

该帖子的代码主要转自模拟退火算法1.
该文对模拟退火算法作了较好的分析，不过该文中举例的TSP的代码有一些问题，我对此作了修正，并在文中最后做出解释。
代码如下：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
#include <time.h>
#include <math.h>

#define N 30 //城市数量
#define T 3000 //初始温度
#define EPS 1e-8 //终止温度
#define DELTA 0.98 //温度衰减率
#define LIMIT 10000 //概率选择上限
#define OLOOP 1000 //外循环次数
#define ILOOP 15000 //内循环次数

using namespace std;

//定义路线结构体
struct Path
{
    int citys[N];
    double len;
};

//定义城市点坐标
struct Point
{
    double x, y;
};

Path path;        //记录最优路径
Point p[N];       //每个城市的坐标
double w[N][N];   //两两城市之间路径长度
int nCase;        //测试次数

double dist(Point A, Point B)
{
    return sqrt((A.x - B.x) * (A.x - B.x) + (A.y - B.y) * (A.y - B.y));
}

void GetDist(Point p[], int n)
{
    for (int i = 0; i < n; i++)
    for (int j = i + 1; j < n; j++)
        w[i][j] = w[j][i] = dist(p[i], p[j]);
}

void Input(Point p[], int &n)
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%lf %lf", &p[i].x, &p[i].y);
}

void Init(int n)
{
    nCase = 0;
    path.len = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        path.citys[i] = i;
        if (i != n - 1)
        {
            printf("%d--->", i);
            path.len += w[i][i + 1];
        }
        else
            printf("%d\n", i);
    }
    printf("\nInit path length is : %.3lf\n", path.len);
}

void Print(Path t, int n)
{
    printf("Path is : ");
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        if (i != n - 1)
            printf("%d-->", t.citys[i]);
        else
            printf("%d\n", t.citys[i]);
    }
    printf("\nThe path length is : %.3lf\n", t.len);
}

// 随机交换2个城市的位置
Path GetNext(Path p, int n)
{
    // Modify by DD: 确保x！=y
    int x = 0, y = 0;
    while (x == y)
    {
        x = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + 1.0)));
        y = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + 1.0)));
    }

    Path ans = p;
    swap(ans.citys[x], ans.citys[y]);
    ans.len = 0;
    for (int i = 0; i < n - 1; i++)
        ans.len += w[ans.citys[i]][ans.citys[i + 1]];
    //cout << "nCase = " << nCase << endl;
    //Print(ans, n);
    nCase++;
    return ans;
}

// 模拟退火
void SA(int n)
{
    double t = T;
    srand(time(NULL));
    Path curPath = path;
    Path newPath = path;
    int P_L = 0;    // 连续找到更差结果的次数
    int P_F = 0;    // while循环次数
    while (1)       //外循环，主要更新参数t，模拟退火过程
    {
        for (int i = 0; i < ILOOP; i++)    //内循环，寻找在一定温度下的最优值
        {
            newPath = GetNext(curPath, n);
            double dE = newPath.len - curPath.len;
            if (dE < 0)   //如果找到更优值，直接更新
            {
                curPath = newPath;
                P_L = 0;
                P_F = 0;
            }
            else
            {
                double rd = rand() / (RAND_MAX + 1.0);

                // Modify by DD: dE取负数才有可能接受更差解,否则e>1
                double e = exp(-dE / t);
                if ( e > rd && e < 1)   //如果找到比当前更差的解，以一定概率接受该解，并且这个概率会越来越小
                    curPath = newPath;
                P_L++;
            }
            if (P_L > LIMIT)
            {
                P_F++;
                break;
            }
        }

        // Modify by DD: 记录全局最优解
        if (curPath.len < path.len)
            path = curPath;
        if (P_F > OLOOP || t < EPS)
            break;
        t *= DELTA;
    }
}

int main()
{
    freopen("TSP.txt", "r", stdin);
    int n;
    Input(p, n);
    GetDist(p, n);
    Init(n);

    SA(n);

    Print(path, n);
    printf("Total test times is : %d\n", nCase);
    return 0;
}

数据文件如下：

27
41 94
37 84
53 67
25 62
7  64
2  99
68 58
71 44
54 62
83 69
64 60
18 54
22 60
83 46
91 38
25 38
24 42
58 69
71 71
74 78
87 76
18 40
13 40
82  7
62 32
58 35
45 21

修改过的地方，代码中写了注释。
其中几个重要的、需要解释的地方有如下几个：

1. 记录全局最优解

   记录最优解时，原文使用的是

if (curPath.len < newPath.len) 
    path = curPath;

这样显然记录的是当前温度中的最优解。更合理的做法是记录全局出现过的最优解，即

 if(curPath.len < path .len)
     path= curPath;

(…这里不加文字，markdown有序列表编号会出错…)
2. 连续搜索到最差结果的处理
代码中的 P_L用于标示连续搜索到比当前更差结果的次数。代码中，如果连续发生了LIMIT次（代码中是10000次），就意味着当前解空间已经找不到更好的结果了。
多次执行代码测试会发现，原文代码更换城市次数却仅仅在1w次左右，最终路径在450附近，这就说明了原文代码会陷入局部最优解。即使每次把P_L复位为0，执行次数是上去了，但是仍然会陷入局部最优解。
3. 必须以一定概率接受更差结果
能够跳出全局最优，正是模拟退火算法最大的优势所在。
原来，原文中计算的是exp(dE / t)，注意dE是为正的，因此exp(dE / t)恒大于1. 因此更差的结果永远不会被选中。而由于交换操作中每次只交换curPath的一对城市，因此陷入了curPath的局部最优解。
修改为exp(-dE / t)后，curPath有一定概率被替换。测试结果发现，更换城市次数在700w次左右，最终路径在370附近。显然获得了全局最优解。

其他不错的资料,如随机模拟的基本思想和常用采样方法（sampling）2.

1. http://blog.csdn.net/xianlingmao/article/details/7768833. ↩
2. http://blog.csdn.net/xianlingmao/article/details/7768833. ↩