整数划分算法原理与实现

整数划分算法原理与实现

整数划分问题是将一个正整数n拆成一组数连加并等于n的形式，且这组数中的最大加数不大于n。
    如6的整数划分为
   
    6
    5 + 1
    4 + 2, 4 + 1 + 1
    3 + 3, 3 + 2 + 1, 3 + 1 + 1 + 1
    2 + 2 + 2, 2 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 + 1
    1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
共11种。下面介绍一种通过递归方法得到一个正整数的划分数。
   
    递归函数的声明为 int split(int n, int m);其中n为要划分的正整数，m是划分中的最大加数(当m > n时，最大加数为n)，
    1 当n = 1或m = 1时，split的值为1，可根据上例看出，只有一个划分1 或 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
    可用程序表示为if(n == 1 || m == 1) return 1;
   
    2 下面看一看m 和 n的关系。它们有三种关系
    (1) m > n
    在整数划分中实际上最大加数不能大于n，因此在这种情况可以等价为split(n, n);
    可用程序表示为if(m > n) return split(n, n);   
    (2) m = n
    这种情况可用递归表示为split(n, m - 1) + 1，从以上例子中可以看出，就是最大加
    数为6和小于6的划分之和
    用程序表示为if(m == n) return (split(n, m - 1) + 1);
    (3) m < n
    这是最一般的情况，在划分的大多数时都是这种情况。
    从上例可以看出，设m = 4，那split(6, 4)的值是最大加数小于4划分数和整数2的划分数的和。
    因此，split(n, m)可表示为split(n, m - 1) + split(n - m, m)
   
    根据以上描述，可得源程序如下：
int split(int n, int m)
{
 if (n == 1 || m == 1)
 {
  return 1;
 }
 if (n < m)
 {
  return split(n, n);
 }
 if (n == m)
 {
  return 1 + split(n, m-1);
 }
 if (n > m)
 {
  return split(n-m, m) + split(n, m-1);
 }
}
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将正整数划分成连续的正整数之和
如15可以划分成4种连续整数相加的形式：
15
7 8
4 5 6
1 2 3 4 5

    首先考虑一般的形式，设n为被划分的正整数，x为划分后最小的整数，如果n有一种划分，那么结果就是x,如果有两种划分，就是x和 x + 1，如果有m种划分，就是 x 、x + 1 、x + 1 、x + 2 、... 、x + m - 1,将每一个结果相加得到一个公式(i * x + i * (i - 1) / 2) = n，i为当前划分后相加的正整数个数。
满足条件的划分就是使x为正整数的所有情况。
如上例，当i = 1时，即划分成一个正整数时，x = 15， 当i = 2时， x = 7。
当i = 3时，x = 4， 当i = 4时，4/9，不是正整数，因此，15不可能划分成4个正整数相加。
当i = 5时，x = 1。
    这里还有一个问题，这个i的最大值是多少？不过有一点可以肯定，它一定比n小。我们可以做一个假设，假设n可以拆成最小值为1的划分，如上例中的1 2 3 4 5。这是n的最大数目的划分。如果不满足这个假设，那么 i 一定比这个划分中的正整数个数小。因此可以得到这样一个公式i * (i + 1) / 2 <= n，即当i满足这个公式时n才可能被划分。

综合上述，源程序如下:
int Split(int n)
{
 int nCount = 0;

 int i, j;
 int x;
 int t;
 for (i = 1; ((i * (i+1)) / 2 <= n); ++i)
 {
  t = (i * (i - 1)) / 2;
  if ((n-t)%i)
  {
   continue;
  }
  x = (n - t) / i;
  for (j = x; j <= x+i-1; ++j)
  {
   cout<<j<<"\t";
  }
  cout<<endl;
  ++nCount;
 }
 return nCount;
}