中国剩余定理(同余方程组)小结

中国剩余定理(同余方程组)小结

问题简单来说就是 a = ai (mod ni)   求未知数a,
 以下小结略去证明, 只是对定理作了必要的解释, 要了解相关定理,可查阅数论资料.

中国余数定理:
      设 n=n1*n2...nk, 其中因子两两互质.有:  a-----(a1,a2,...,ak), 其中ai = a mod ni, 则 a和(a1,a2,...,ak)关系是一一对应的.就是说可以由 a求出(a1,a2,...,ak), 也可以由(a1,a2,...,ak)求出a

推论1:
      对于 a=ai  (mod ni) 的同余方程,有唯一解

下面说说由(a1, a2, ..., ak)求a的方法:
定义 mi = n1*n2*...nk / ni;   ci = mi(mf  mod ni);   其中 mi*mf  mod ni = 1;
         则 a = (a1*c1+a2*c2+...+ak*ck)      (mod n)      (注:由此等式可求a%n, 当n很大时)

中国剩余定理关键是mf的求法,如果理解了扩展欧几里得 ax+by=d, 就可以想到:
                     mi*mf  mod ni = 1 => mi*mf+ni*y=1;

代码如下:

 

#include  < iostream >
#include  < cmath >
using namespace std;

const   int  MAXN  =   100 ;
int  nn, a[MAXN], n[MAXN];

int  egcd( int  a,  int  b,  int   & x,  int   & y) {
     int  d;
     if  (b  ==   0 ) {
        x  =   1 ; y  =   0 ;
        return a;
    }  else  {
        d  =  egcd(b, a%b, y, x);
        y  -=  a / b * x;
        return d;
    }
}

int  lmes() {
     int  i, tm = 1 , mf, y, ret = 0 , m;
     for  (i = 0 ; i < nn; i ++ ) tm  *=  n[i];
     for  (i = 0 ; i < nn; i ++ ) {
        m  =  tm / n[i];
        egcd(m, n[i], mf, y);
        ret  +=  (a[i] * m * (mf%n[i]))%tm;
    }
    return (ret + tm)%tm;
}

int  main() {
    a[ 0 ]  =   4 ; a[ 1 ]  =   5 ;
    n[ 0 ]  =   5 ; n[ 1 ]  =   11 ;
    nn  =   2 ;
    printf( " %d\n " , lmes());
    return  0 ;
}