Floyd-Warshall算法，简称Floyd算法，用于求解任意两点间的最短距离，时间复杂度为O(n^3)。
使用条件&范围
通常可以在任何图中使用，包括有向图、带负权边的图。
Floyd-Warshall 算法用来找出每对点之间的最短距离。它需要用邻接矩阵来储存边，这个算法通过考虑最佳子路径来得到最佳路径。
1.注意单独一条边的路径也不一定是最佳路径。
2.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，或者无穷大，如果两点之间没有边相连。
对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。
3.不可思议的是，只要按排适当，就能得到结果。
伪代码:
2 For i← 1 to n do
3 For j← 1 to n do
4 dist(i,j) = weight(i,j)
5
6 For k← 1 to n do // k为“媒介节点”
7 For i← 1 to n do
8 For j← 1 to n do
9 if (dist(i,k) + dist(k,j) < dist(i,j)) then // 是否是更短的路径？
10 dist(i,j) = dist(i,k) + dist(k,j)
我们平时所见的Floyd算法的一般形式如下：
2 int i,j,k;
3 for (k = 1 ;k <= n;k ++ )
4 for (i = 1 ;i <= n;i ++ )
5 for (j = 1 ;j <= n;j ++ )
6 if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j])
7 dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
8 }
注意下第6行这个地方，如果dist[i][k]或者dist[k][j]不存在，程序中用一个很大的数代替。最好写成if(dist[i] [k]!=INF && dist[k][j]!=INF && dist[i][k]+dist[k][j]
Floyd算法的实现以及输出最短路径和最短路径长度，具体过程请看【动画演示Floyd算法】。
代码说明几点：
1、A[][]数组初始化为各顶点间的原本距离，最后存储各顶点间的最短距离。
2、path[][]数组保存最短路径，与当前迭代的次数有关。初始化都为-1，表示没有中间顶点。在求A[i][j]过程中，path[i][j]存放从顶点vi到顶点vj的中间顶点编号不大于k的最短路径上前一个结点的编号。在算法结束时，由二维数组path的值回溯，可以得到从顶点vi到顶点vj的最短路径。
初始化A[][]数组为如下，即有向图的邻接矩阵。
完整的实现代码如下：
2 #include < string >
3 #include < stdio.h >
4 using namespace std;
5 #define MaxVertexNum 100
6 #define INF 32767
7 typedef struct
8 {
9 char vertex[MaxVertexNum];
10 int edges[MaxVertexNum][MaxVertexNum];
11 int n,e;
12 }MGraph;
13
14 void CreateMGraph(MGraph & G)
15 {
16 int i,j,k,p;
17 cout << " 请输入顶点数和边数: " ;
18 cin >> G.n >> G.e;
19 cout << " 请输入顶点元素: " ;
20 for (i = 0 ;i < G.n;i ++ )
21 {
22 cin >> G.vertex[i];
23 }
24 for (i = 0 ;i < G.n;i ++ )
25 {
26 for (j = 0 ;j < G.n;j ++ )
27 {
28 G.edges[i][j] = INF;
29 if (i == j)
30 {
31 G.edges[i][j] = 0 ;
32 }
33 }
34 }
35 for (k = 0 ;k < G.e;k ++ )
36 {
37 cout << " 请输入第 " << k + 1 << " 条弧头弧尾序号和相应的权值: " ;
38 cin >> i >> j >> p;
39 G.edges[i][j] = p;
40 }
41 }
42 void Dispath( int A[][MaxVertexNum], int path[][MaxVertexNum], int n);
43
44 void Floyd(MGraph G)
45 {
46 int A[MaxVertexNum][MaxVertexNum],path[MaxVertexNum][MaxVertexNum];
47 int i,j,k;
48 for (i = 0 ;i < G.n;i ++ )
49 {
50 for (j = 0 ;j < G.n;j ++ )
51 {
52 A[i][j] = G.edges[i][j];
53 path[i][j] =- 1 ;
54 }
55 }
56 for (k = 0 ;k < G.n;k ++ )
57 {
58 for (i = 0 ;i < G.n;i ++ )
59 {
60 for (j = 0 ;j < G.n;j ++ )
61 {
62 if (A[i][j] > A[i][k] + A[k][j])
63 {
64 A[i][j] = A[i][k] + A[k][j];
65 path[i][j] = k;
66 }
67 }
68 }
69 }
70 Dispath(A,path,G.n);
71 }
72
73 void Ppath( int path[][MaxVertexNum], int i, int j)
74 {
75 int k;
76 k = path[i][j];
77 if (k ==- 1 )
78 {
79 return ;
80 }
81 Ppath(path,i,k);
82 printf( " %d, " ,k);
83 Ppath(path,k,j);
84 }
85
86 void Dispath( int A[][MaxVertexNum], int path[][MaxVertexNum], int n)
87 {
88 int i,j;
89 for (i = 0 ;i < n;i ++ )
90 {
91 for (j = 0 ;j < n;j ++ )
92 {
93 if (A[i][j] == INF)
94 {
95 if (i != j)
96 {
97 printf( " 从%d到%d没有路径\n " ,i,j);
98 }
99 }
100 else
101 {
102 printf( " 从%d到%d=>路径长度:%d路径: " ,i,j,A[i][j]);
103 printf( " %d, " ,i);
104 Ppath(path,i,j);
105 printf( " %d\n " ,j);
106 }
107 }
108 }
109 }
110
111 int main()
112 {
113 freopen( " input2.txt " , " r " , stdin);
114 MGraph G;
115 CreateMGraph(G);
116 Floyd(G);
117 return 0 ;
118 }
测试结果如下：
本文转自：http://www.wutianqi.com/?p=1903