后缀树

概念，定义

后缀树是一种树型数据结构，使用后缀树可以快速解决很多字符串相关的问题，功能非常强大。很多文章在说到后缀树时，都会首先提及Tries树。实际上Tries是一种简单版本的后缀树，后缀树也可以说是压缩后的Tries树。总而言之，Tries树和后缀树有很多相似之处，后缀树在时间效率和空间效率都比Tries树要好，不过后缀树相应的就很难理解。很多介绍后缀树的文章都难免让初学者陷入混乱。

字符串的后缀

比如字串S：hello，它的后缀包括：

hello, ello, llo, lo, o, $（空串）

更一般的定义：如果S=t₁t₂...t_i...t_n是一个字串， 那么T_i=t_it_i+1...t_n是S的起始于i的后缀。例如：

T1 = hello = S

T2 = ello

T3 = llo

T4 = lo

T5 = o

T6 = $

类似的我们可以得到S的前缀：$, h, he, hel, hell, hello。注意，S的子串是一个后缀的前缀，是一个前缀的后缀。比如ell是S的一个子串，它是后缀T2的前缀，是前缀hell的后缀。

suffix Trie与suffix Tree

对于S：bananas

它的后缀Trie和后缀树分别如下所示：

现在来理解它们的区别还比较困难。总结而言可以概括为：后缀树要比后缀Tries省空间，后缀Tries构造比较直接简单，时间复杂度为O(n²)，而且空间复杂度也是O(n²)。后缀树的构造很复杂，不容易理解，不过它的时间复杂度和空间复杂度都为O(n)。

后缀Tries没有家喻户晓的原因正是因为它的平方级开销，这使得它在最需要它的领域 -- 长串搜索中被拒之门外。

可以用下面的结构来表示Tries

class Edge {

        char ch ;    //边代表的字符

        Node *node ; //边指向的点   

};

class Node {

        Edge *first ; //以该节点出发的第一条边

        Edge *next ;  //下一条边

        bool isEnd ;  //以该节点结尾的字串是否存在

};

class Node {

        char ch ;         //该节点代表的字符

        Node *child ;    //第一个子节点

        Node *sibling ;  //兄弟节点

        bool isEndl ;    //以该节点结尾的字串是否存在

};

suffix link（后缀链接）

也叫后缀指针，它指示下一个更短的后缀。即，如果一个后缀表示文本的第0到第n个字符，那么它的后缀指针指向的节点表示文本的第1个到第n个字符。

它的存在有什么好处呢？有了后缀指针，我们就可以方便的从一个后缀跳到另一个后缀，这是使后缀树的构造算法降为O(n)的保证。

后缀树的特性

后缀树通过自身的特性去解决一些复杂的匹配问题。

经过证明，在最坏的情况下，后缀树的节点数也不会超过2N。

前缀相同的后缀共享同样的边

后缀指针指向下一个更短的后缀

问题来源

字符串匹配是程序员经常要面对的问题。字符串匹配算法的改进可以使很多工程受益良多，比如数据压缩和DNA排列。O(n²)的传统匹配算法在面对长字串时无能为力，后来出现了很多改进的算法，比如KMP，Boyer-Moore算法等使复杂度降低O(N+M)，效率大大改进。在基因工程的应用中，通常都需要频繁在基因库中定位一个基因数据，对于一个大型的基因库，显然O(N+M)的算法仍然无法满足需要。后缀Tries亮出了O(M)的底牌，彻底鄙视了其它算法的成绩，后缀Tries对比的次数仅仅相当于被搜索串的长度！

但有一点不能忘了，后缀Tries的构造是需要时间和空间的，而且都是平方级。

直到1976年，Edward McCreigh发表了一篇论文，后缀树自此问世了。后缀Tries的困境被彻底打破。

然而，McCreigh最初的构造算法是有缺陷的，原则上它要按逆序构造，也就是说字符要从末端开始插入。如此一来，便不能作为在线算法，它变得更加难于应用与实际问题，如数据压缩。

20年后, 来自赫尔辛基理工大学的Esko Ukkonen把原算法作了一些改动，把它变成了从左往右。

后缀树的构造

很多介绍后缀树的文章，都把重点放在后缀树的构造过程上。可见，后缀树的构建过程是该算法的关键。

历史

1973年，Weiner发明了最初的O(n)算法，Knuth称之为1973算法。Weiner提出的方法采用自右向左处理，从最短的后缀开始，依长度递增顺序不断把后缀添加到树中。

1976年，McCreigh提出了空间效率更高的算法。McCreight提出的方法依长度递减顺序把后缀逐个添加到树中。

20年后，Esko Ukkonen对其改进，提出了更简单的在线算法。

Ukkonen构造算法

待续

应用

后缀树天生就是用来解决长串搜索问题的，而且效率很高。因此，只要涉及在某个固定长数据序列中多次查找子序列的问题，都可以应用后缀树。

缺点

后缀树的构造可以用Ukkonen算法在线性时间内完成，但是不仅构造算法实现相当复杂，而且后缀树存在着致命弱点：空间开销大且对大字母表时间效率不理想。