高斯消元原理

高斯消元是用来求线性方程组的解，行列式求值，或者矩阵求逆等等。主要有两个步骤：化行阶梯形矩阵和回带。

高斯消元的时间复杂度为，以下代码中代表方程个数，代表未知数个数，数组用来判断哪些未知数是

变元，数组用来存求得的解。

 

代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
#include <math.h>

using namespace std;
const int N = 105;

int gcd(int a,int b)
{
    return b ? gcd(b,a%b):a;
}

int lcm(int a,int b)
{
    return a / gcd(a,b) * b;
}

/**n个方程，m个未知数，r代表当前处理的行，c代表当前处理的列*/
void Gauss(int a[][N],int n,int m,int &r,int &c)
{
    r = c = 0;
    for(; r<n && c<m; r++,c++)
    {
        int maxi = r;
        for(int i=r+1; i<n; i++)
            if(abs(a[i][c]) > abs(a[maxi][c]))
                maxi = i;
        if(maxi != r)
        {
            for(int i=r; i<m+1; i++)
                swap(a[r][i],a[maxi][i]);
        }
        if(a[r][c] == 0)
        {
            r--;
            continue;
        }
        for(int i=r+1; i<n; i++)
        {
            if(a[i][c] != 0)
            {
                int x = abs(a[i][c]);
                int y = abs(a[r][c]);
                int LCM = lcm(x,y);
                int tx = LCM / x;
                int ty = LCM / y;
                if(a[i][c] * a[r][c] < 0)
                    ty = -ty;
                for(int j=c; j<m+1; j++)
                    a[i][j] = a[i][j] * tx - a[r][j] * ty;
            }
        }
    }
}

int Rewind(int a[][N],int x[],bool f[],int n,int m,int r,int c)
{
    for(int i=r; i<n; i++)
        if(a[i][c] != 0)
            return -1;
    if(r < m)
    {
        memset(f,1,sizeof(f));
        for(int i=r-1; i>=0; i--)
        {
            int id = 0;
            int cnt = 0;
            for(int j=0; j<m; j++)
            {
                if(a[i][j] != 0 && f[j])
                {
                    cnt++;
                    id = j;
                }
            }
            if(cnt > 1) continue;
            int t = a[i][m];
            for(int j=0; j<m; j++)
            {
                if(a[i][j] != 0 && j != id)
                    t -= a[i][j] * x[j];
            }
            x[id] = t / a[i][id];
            f[id] = 0;
        }
        return m - r;
    }
    for(int i=r-1; i>=0; i--)
    {
        int t = a[i][c];
        for(int j=i+1; j<c; j++)
        {
            if(a[i][j] != 0)
                t -= a[i][j] * x[j];
        }
        if(t % a[i][i] != 0) return -2;
        x[i] = t / a[i][i];
    }
    return 0;
}

void Print(int a[][N],int n,int m)
{
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        for(int j=0; j<m+1; j++)
            cout<<a[i][j]<<" ";
        cout<<endl;
    }
}

int a[N][N];
int x[N];
bool f[N];

int main()
{
    int n,m;
    while(cin>>n>>m)
    {
        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            for(int j=0; j<m+1; j++)
                cin>>a[i][j];
        }
        int r,c;
        Gauss(a,n,m,r,c);
        Rewind(a,x,f,n,m,r,c);
        Print(a,n,m);
        puts("");
    }
    return 0;
}