【图论】最短路和最小生成树

【图论】最短路和最小生成树

两个算法具有相当大的相似性，而且都用到了贪心思想，所以把他们放到一起。最短路常用的算法有dijkstra，bellman-ford，floyd。而最小生成树则是prim和kruskal。下面是各个算法的模板。
Dijkstra:

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<string.h>
 3 #define INF 0x1f1f1f1f
 4 #define M 1001
 5 int map[M][M],dis[M];
 6 bool flag[M];
 7 void dijkstra(int s,int n,int t)            //s是源点，n是点的个数，t是目的点
 8 {
 9     int i,j,k,md,temp;
10     for(i=1;i<=n;i++)
11         dis[i]=INF;                        //初始化将所有dis置为无穷大，源点为0
12     dis[s]=0;
13     memset(flag,false,sizeof(flag));       //开始flag全部为false，表示集合为空
14     for(i=1;i<n;i++){                      //进行n-1次迭代，每次找出不在集合中的最小边
15         md=INF;                                           
16         for(j=1;j<=n;j++){
17             if(!flag[j]&&dis[j]<md){
18                 md=dis[j];
19                 temp=j;
20             }
21         } 
22         if(temp==t) break;                 //如果遇到目的点，可以跳出了
23         flag[temp]=true;                   //将这个最小边的点加入集合
24         for(j=1;j<=n;j++){
25             if(!flag[j]&&md+map[temp][j]<dis[j])    //对所有出边进行松弛操作
26                 dis[j]=md+map[temp][j];
27         }
28     }
29 }

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相应的最小生成树的prim模板：

 1 #include<iostream>
 2 #define INF 0x1f1f1f1f
 3 #define M 1000
 4 using namespace std;
 5 double dis[M],map[M][M];
 6 bool flag[M];
 7 int prim(int s,int n)                        //s为起点，n为点的个数
 8 {
 9     int i,j,k,temp,md,total=0;
10     for(i=1;i<=n;i++)
11         dis[i]=map[s][i];                    //与最短路不同，而是将dis置为map[s][i]
12     memset(flag,false,sizeof(flag));
13     flag[s]=true;                            //将起点加入集合
14     for(i=1;i<n;i++){                        //依旧进行n-1次迭代，每次找到不在集合的最小边
15         md=INF;
16         for(j=1;j<=n;j++){
17             if(!flag[j]&&dis[j]<md){
18                 md=dis[j];
19                 temp=j;
20             }
21         }
22         flag[temp]=true;                      //将找到的最小边的点加入集合
23         total+=md;                            //并将这个边的权值加到total中
24         for(j=1;j<=n;j++)                     //松弛操作，注意与最短路不同
25             if(!flag[j]&&dis[j]>map[temp][j])
26                 dis[j]=map[temp][j];
27     }
28     return total;
29 }

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下面是最短路的bellmen-ford算法，与dijkstra不同，bellman-ford可以运用于有负权值的图，不过复杂度很高，O(VE )... 慎用~（可以用SPFA，但是那个算法我掌握的不是很好：D）
Bellman-ford算法同样是对每条边进行N-1次松弛，当有权值为负时，对所有边进行N-1次松弛，如果dis还能更新，说明有负环。
Bellman-ford模板：

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<string.h>
 3 #define INF 0x1f1f1f1f
 4 #define MAX 102
 5 #define MAXM 20008
 6 
 7 int dist[MAX];
 8 
 9 struct Edge{                                                   //边结构体定义 
10     int u, v, w;
11     Edge(){}
12     Edge(int a, int b, int c):u(a), v(b), w(c){}
13 }edge[MAXM];
14 
15 int bellman_ford(int n, int m, int s)                           //n个点、m条边、s为起点 
16 {
17     memset(dist, 0x1f, sizeof(dist));                          //初始化距离很大 
18     dist[s] = 0;
19     int i, j, u, v, f;
20     for (i = 1; i < n; ++i)                                   //迭代 n - 1 次，对每条边进行n-1次松弛
21     {
22            f = 0;
23            for (j = 0; j < m; ++j)
24            {
25                 u = edge[j].u;
26                 v = edge[j].v;
27                 if (dist[v] > dist[u] + edge[j].w)               // 松弛操作 
28                 {
29                        dist[v] = dist[u] + edge[j].w;
30                        f = 1;
31                 }
32            }
33            if (!f) return 1;                                     //如果其中一次迭代没改变，停止
34     }
35     for(j = 0; j < m; ++j)                                   //再进行一次迭代 
36     {
37            u = edge[j].u;
38            v = edge[j].v;
39            if (dist[v] > dist[u] + edge[j].w)                   //若还能松弛, 则存在负环 
40               return -1;                                        //存在负环返回 -1 
41     }
42     return 1;                                           //没有负环返回 1 
43 }

算法结束后dist数组已经是最短路径。