暑期集训——SCC

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有向图的强连通分量（SCC）

对于一个有向图，有点u到点v可达，不一定意味着v到u可达，对于一个有向图，如果任意两点间都相互可达，则该图称为一个强连通图。若任意两点间要么u可达v，要么v可达u则称该图为单侧连通图。若去掉有向图的方向后为一个连通图则为弱连通图。对于一个图，若其不是强连通图，但是总可以找到它的连通分量，使得联通分量的点都是相互可达的，对于极大的连通分量即为图的强连通分量（Strongly Connected Component, SCC)，类似的有图的单侧连通分量，和弱连通分量。求一个图的弱连通分量，只需要用dfs或者bfs对图做一下遍历即可，有几棵树就有几个弱连通分量。对于求单侧连通分量，？？？？。对于求有向图的强连通分量有以下算法：

1.      对有向图以某个节点做dfs记录各点的结束时间。

2.      将图所有边反向，以结束时间从大到小，再做一遍dfs，如果从某个点可以遍历到一些点，则这些点可以构成一个强连通分量。

SCC求强连通分量的伪代码(邻接表表示，且同时完成了缩点操作，缩点时一般还需要对一些量进行特殊设定，需要在缩点时进行修改，该题是缩点时记录新节点包括旧图中的几个节点。)

vector < int > v1[MAX];  // 原图
vector < int > v2[MAX];  // 反向边图
int  mark[MAX],Stack[MAX];
int  Num[MAX],Nn[MAX];
int  dep;
void  dfs1( int  i)
{
   mark[i]=1;
   for(int j=0;j<v1[i].size();j++)
      if(!mark[v1[i][j]])
      dfs1(v1[i][j]);
   Stack[dep++]=i;   
}
void  dfs2( int  i)
{
   Num[i]=cnt;
   Nn[cnt]++;
   mark[i]=1;
   for(int j=0;j<v2[i].size();j++)
      if(!mark[v2[i][j]])
      dfs2(v2[i][j]);      
}
void  scc() // 两边dfs
{
   int i,j;
   dep=1;
   memset(mark,0,sizeof(mark));
   for(i=1;i<=n;i++)
      if(!mark[i])
      dfs1(i);
   memset(mark,0,sizeof(mark));
   cnt=0;
   for(i=n;i>0;i--)
      if(!mark[Stack[i]])
      {
         cnt++;
         dfs2(Stack[i]);
      }
}