堆排分析。

堆优化的方法：
1、自顶向下
template <class Item>
void fixDown(Item a[],int k,int N)
{
    Item temp;
    while(2*k <= N)
    {
        int j = 2*k;
        if (j<N&&a[j]<a[j+1]) j++;
        if (!(a[k]<a[j])) break;
        //cout<<"fixdown"<<j<<endl;
        exch(a[k],a[j]);
        k = j;
    }
}
根据堆是个完全二叉树，把除了叶节点以外的从下往上逐步排好。
2、自底向上
template <class Item>
void fixUp(Item a[],int k)
{
    while(k>1 && a[k/2]<a[k])
    {
        exch(a[k],a[k/2]);
        k = k/2;
    }
}

堆排排序的步骤，
1、建立堆。
可以插入的方法或者采取修正堆的方法。
  for(k=N/2;k>=l;k--)
    {
        fixDown(pq,k,N);
    }
2、逐步排序。
   while(N>l)
    {
        exch(pq[l],pq[N]);
        fixDown(pq,l,--N);
    }

总算法：
template <class Item>
void heapsort(Item a[],int l,int r)
{
    int  k = l,N = r-l+1;
    Item *pq = a+l-1;
    for(k=N/2;k>=l;k--)
    {
        fixDown(pq,k,N);
    }
    while(N>l)
    {
        exch(pq[l],pq[N]);
        fixDown(pq,l,--N);
    }

}



堆排序引申的题目。
如果需要 找出N 个数中 最大的K个不同的数

设N > K，前K个数中的最大K个数是一个退化的情况，所有K个数就是最大的K个数。如果考虑第K+1个数X呢？如果X比最大的K个数中的最小的数Y小，那么最大的K个数还是保持不变。如果X比Y大，那么最大的K个数应该去掉Y，而包含X。如果用一个数组来存储最大的K个数，每新加入一个数X，就扫描一遍数组，得到数组中最小的数Y。用X替代Y，或者保持原数组不变。这样的方法，所耗费的时间为O（N * K）。

进一步，可以用容量为K的最小堆来存储最大的K个数。最小堆的堆顶元素就是最大K个数中最小的一个。每次新考虑一个数X，如果X比堆顶的元素Y小，则不需要改变原来的堆，因为这个元素比最大的K个数小。如果X比堆顶元素大，那么用X替换堆顶的元素Y。在X替换堆顶元素Y之后，X可能破坏最小堆的结构（每个结点都比它的父亲结点大），需要更新堆来维持堆的性质。更新过程花费的时间复杂度为O（log₂K）。

图2-1

图2-1是一个堆，用一个数组h[]表示。每个元素h[i]，它的父亲结点是h[i/2]，儿子结点是h[2 * i + 1]和h[2 * i + 2]。每新考虑一个数X，需要进行的更新操作伪代码如下:

代码清单2-13

if(X > h[0])

{

    h[0] = X;

    p = 0;

    while(p < K)

    {

        q = 2 * p + 1;

        if(q >= K)

            break;

        if((q < K – 1) && (h[q + 1] < h[q]))

            q = q + 1;

        if(h[q] < h[p])

        {

            t = h[p];

            h[p] = h[q];

            h[q] = t;

            p = q;

        }

        else

            break;

    }

}

因此，算法只需要扫描所有的数据一次，时间复杂度为O（N * log₂K）。这实际上是部分执行了堆排序的算法。在空间方面，由于这个算法只扫描所有的数据一次，因此我们只需要存储一个容量为K的堆。大多数情况下，堆可以全部载入内存。如果K仍然很大，我们可以尝试先找最大的K’个元素，然后找第K’+1个到第2 * K’个元素，如此类推（其中容量K’的堆可以完全载入内存）。不过这样，我们需要扫描所有数据ceil（K/K’）次。

Posted on 2008-06-16 11:40 micheal's tech 阅读(553) 评论(0)   编辑  收藏 引用 所属分类: Algorithm