有向图的强连通分支

有向图的强连通分支

有向图强连通分支就是这样一个最大的顶点集合C，其中的任意一对顶点u和v，u可达v，并且v可达u。
kosaraju算法是求有向图强连通分支的有效算法。起基本思想就是两次DFS，说起来简单，但是如何证明其两次DFS是能成功求出强连通分支的呢？
1、对图G第一次DFS遍历完成之后，会形成若干个DFS树，它们组成森林，假设有C1，C2，C3...Ck棵DFS树，而且遍历完成时间C1<C2<C3<...<Ck，这样，可知必然不存在从Ci到Cj的边（其中i<j），因为如果存在Ci->Cj则假设这条边是从Ci的x节点到Cj的y节点，则由白色路径定理可知，必然存在一条从Ci到Cj的白色路径，则Cj会是Ci的一棵子树！所以不存在从Ci到Cj的边（其中i<j）。
2、当把图G的所有边逆向之后，设形成图F，则由1可知不存在从Cj到Ci的路径，这样，对图F按照第一次DFS遍历时各个节点的完成时间由大到小进行DFS遍历，即从Ck的树根r开始遍历：首先根据前面的论证需要明确一个事实，r所在的强连通分支的点集必然属于树Ck，因为不存在从Ck到Ca（a<k）的边，另外就是r到Ck中所有节点都是可达的，这样当对图G的逆图F从r点开始遍历的时候，所有可到达的点在图G中都是可到达r的！这样遍历结果就是r所在的强连通分支！然后在从剩下没有遍历过的所有节点中第一次DFS的完成时间最大的点开始遍历，因为剩下的点都为白色（可能会存在白色点指向从r形成的强连通分支的反向边），所以与Ck的根r类似，同样能形成一个强连通分支，这样就能把Ck中的所有强连通分支找出，同样可以找出Ck-1...C1中的强连通分支。
证毕！
证明如果能看懂的话那代码就非常简单了，下面是示例代码：

 1  #include  < cstdio >
 2  #include  < vector >
 3 
 4  #define  MAXN 105
 5  #define  ROOT 0
 6 
 7  typedef  struct  {
 8    std::vector < int >  adj_list;
 9  #define  WHITE 0
10  #define  GREY 1
11  #define  BLACK 2
12     int  color;
13  } GRAPH;
14 
15  GRAPH graph[MAXN];
16  GRAPH rgraph[MAXN];
17  int  nr_of_nodes  =   0 ;
18  int  nr_of_edges  =   0 ;
19 
20  static   void  init() {
21     int  i;
22     for  (i  =   0 ; i  <  MAXN;  ++ i) {
23      graph[i].adj_list.clear();
24      graph[i].color  =  WHITE;
25      rgraph[i].adj_list.clear();
26      rgraph[i].color  =  WHITE;
27    }
28    nr_of_nodes  =   0 ;
29    nr_of_edges  =   0 ;
30  }
31 
32  static   void  input() {
33     int  i, u, v;
34    freopen( " input " ,  " r " , stdin);
35    scanf( " %d%d " ,  & nr_of_nodes,  & nr_of_edges);
36     for  (i  =   0 ; i  <  nr_of_edges;  ++ i) {
37      scanf( " %d%d " ,  & u,  & v);
38      graph[u].adj_list.push_back(v);
39      rgraph[v].adj_list.push_back(u);
40    }
41  }
42 
43  static   void  DFS(GRAPH *  g,  int  x, std::vector < int >*  list) {
44     int  i;
45    g[x].color  =  GREY;
46     for  (i  =   0 ; i  <  g[x].adj_list.size();  ++ i) {
47       if  (g[g[x].adj_list[i]].color  ==  WHITE) {
48        DFS(g, g[x].adj_list[i], list);
49      }
50    }
51    g[x].color  =  BLACK;
52    list -> push_back(x);
53  }
54 
55  static   void  strong_connected_components() {
56     int  i, j;
57    std::vector < int >  vertexes
58    std::vector < int >  scc;
59    std::vector < std::vector < int >   >  sccs;
60 
61     for  (i  =   0 ; i  <  nr_of_nodes;  ++ i) {
62       if  (graph[i].color  ==  WHITE) {
63        DFS(graph, i,  & vertexes);
64      }
65    }
66 
67     for  (i  =  vertexes.size()  -   1 ; i  >=   0 ;  -- i) {
68       if  (rgraph[vertexes[i]].color  ==  WHITE) {
69        DFS(rgraph, vertexes[i],  & scc);
70        sccs.push_back(scc);
71        scc.clear();
72      }
73    }
74 
75     for  (i  =   0 ; i  <  sccs.size();  ++ i) {
76      printf( " strong connected component %d:  " , i);
77       for  (j  =   0 ; j  <  sccs[i].size();  ++ j) {
78        printf( " %d  " , sccs[i][j]);
79      }
80      printf( " \n " );
81    }
82  }
83 
84  int  main( int  argc,  const   char   ** argv) {
85    init();
86    input();
87    strong_connected_components();
88     return   0 ;
89  }
90 
91 

核心部分代码就是strong_connected_components()和DFS()。这里利用一个栈来保存每个节点的完成先后顺序，第二次遍历的时候就按照最后完成的节点开始向前遍历。