The Proof Of Euclid Algorithm

The Proof Of Euclid Algorithm

　　以前可能看过，不过真的记不得了，特记录一下，可能不严密，仅供自己理解。
　　求gcd(a, b)，欲证gcd(a, b) = gcd(b, a % b)
　　设d1 = gcd(a, b), d2 = gcd(b, a % b), a > b且a = qb + r
　　只需证d1 | d2并且d2 | d1。
　　因为d2 | b, d2 | r, 因此d2 | (b + qr) = a，根据d2 | b且d2 | a有d2 | gcd(a, b)，即d2 | d1。
　　因为d1 | a, d1 | b, 因此d1 | (a - qb) = r，根据d1 | b且d1 | r有d1 | gcd(b, r)，即d1 | d2。
　　根据Euclid算法执行过程，gcd(a, b) = gcd(b, r) = gcd(r, b % r) = ... = gcd(rn, rn-1 % rn)，如果rn-1 % rn = 0，根据gcd(a, 0) = a，有gcd(a, b) = rn，证毕。

　　貌似偏序关系上证a = b很多都是利用反对称性，比如a >= b并且b >= a则a = b，或者a | b并且b | a则a = b，一个很常用且强大的方法。