PKU 1811

PKU 1811

　　大整数的快速质因子分解，用到pollard-rho启发式算法。
　　算法导论上介绍pollard-rho介绍得比较详细，由于小因子的循环节长度很小，通过倍增步长，pollard-rho能够很快的找到一个大整数的一个较小的素因子p，书中说复杂度在O(sqrt(p))内，用的什么概率的分析方法，不懂。实际中pollard-rho的速度还是很快的，当然可能出现死循环。
　　这个题目要利用pollard-rho找到一个数的最小素因子，因此还需要Miller-Rabin测试来辅助。原来写的那个Miller-Rabin很快挂掉了，因为没有用到二次探测，判不出来Carmichael数。如果x ^ 2 = 1 (mod n)，如果n是质数，那么x只能是1和n - 1；二次探测就是利用这个定理来进行检测。
　　POJ的论坛里面更有牛人列出了N多Carmichael数，真不知道他怎么找到的。最初怎么也不知道二次探测加在哪里好，后来参考网上一位大牛的代码，它的方法是计算a ^ b % n的时候，先将b折半到一个奇数b'为止，计算a ^ b'，然后倍增b'，同时进行二次检测，想想觉得很有道理，因为如果x ^ 2 = 1 mod n成立的话，那么(x ^ 2) ^ 2 = 1 mod n也成立。
　　这个题目还有一个trick就是模能达到2 ^ 54，如果这样计算一个数平方的时候，即使long long也会溢出。后来发现可以用快速幂取模的思想弄个"快速积取模"，同样将b表示成二进制的形式，倍增的同时加到结果上就行了。这样每次运算的数范围都在2 ^ 54以内，并且都是加操作，不会溢出了。
　　POJ上还有一个用pollard-rho做的题是PKU 2429，这个比Prime Test还恶，因为这个题目是彻彻底底进行factorization，而且之后还要枚举一下找最优解，总之我的代码非常的长，而且这个题目数据范围2 ^ 63，必须用unsigned long long才能过。我的代码中间出现了一些减操作，都要特殊处理一下。最后还犯了个低级错误，函数返回值写错了，找了好几遍才找出来。

附PKU 1811代码：

PKU 1811
  1 #include <cstdio>
  2 #include <stdlib.h>
  3 #include <time.h>
  4 const int MAX = 8, N = 1000010;
  5 
  6 long long ans, p[N/5];
  7 int tag[N];
  8 
  9 long long abs(long long t)
 10 {
 11     return t < 0 ? -t : t;
 12 }
 13 void prime()
 14 {
 15     int cnt = 0;
 16 
 17     for (int i = 2; i < N; i++)
 18     {
 19         if (!tag[i])    p[cnt++] = i;
 20         for (int j = 0; j < cnt && p[j] * i < N; j++)
 21         {
 22             tag[i*p[j]] = p[j];
 23             if (i % p[j] == 0)
 24                 break;
 25         }
 26     }
 27 }
 28 long long gcd(long long a, long long b)
 29 {
 30     return !b ? a : gcd(b, a % b);
 31 }
 32 long long MultiMod(long long a, long long b, long long k)
 33 {
 34     long long ret = 0, tmp = a % k;
 35 
 36     while (b)
 37     {
 38         if (b & 1)
 39             ret = (ret + tmp) % k;
 40         tmp = (tmp << 1) % k;
 41         b >>= 1;
 42     }
 43 
 44     return ret;
 45 }
 46 long long PowerMod(long long a, long long b, long long k)
 47 {
 48     long long ret = 1, f = a % k;
 49 
 50     while (b)
 51     {
 52         if (b & 1)
 53             ret = MultiMod(ret, f, k);
 54         f = MultiMod(f, f, k);
 55         b >>= 1;
 56     }
 57     return ret;
 58 }
 59 int TwiceDetect(long long a, long long b, long long k)
 60 {
 61     int t = 0;
 62     long long x, y;
 63 
 64     while ((b & 1) == 0)
 65     {
 66         b >>= 1;
 67         t++;
 68     }
 69     y = x = PowerMod(a, b, k);
 70     while (t--)
 71     {
 72         y = MultiMod(x, x, k);
 73         if (y == 1 && x != 1 && x != k - 1)
 74             return 0;
 75         x = y;
 76     }
 77     return y != 1 ? 0 : 1;
 78 }
 79 bool MillerRabin(long long n)
 80 {
 81     int i;
 82     long long tmp;
 83 
 84     srand(time(0));
 85     for (i = 0; i < MAX; i++)
 86     {
 87         tmp = rand() % (n - 1) + 1;
 88         if (TwiceDetect(tmp, n - 1, n) != 1)
 89             break;
 90     }
 91     return (i == MAX);
 92 }
 93 long long pollard_rho(long long n)
 94 {
 95     srand(time(0));
 96     int i = 1, k = 2;
 97     long long d, x = rand() % (n - 1) + 1, y = x;
 98     while (true)
 99     {
100         i++;
101         x = (MultiMod(x, x, n) - 1) % n;
102         d = abs(gcd(y - x, n));
103         if (d != 1 && d != n)
104             return d;
105         if (i == k)
106         {
107             y = x;
108             k <<= 1;
109         }
110     }
111 }
112 void factorization(long long n)
113 {
114     long long tmp;
115 
116     if (n < N)
117     {
118         ans <?= !tag[n] ? n : tag[n];
119         return;
120     }
121     if (MillerRabin(n))
122     {
123         ans <?= n;
124         return;
125     }
126     tmp = pollard_rho(n);
127     factorization(tmp);
128     factorization(n / tmp);
129 }
130 
131 int main()
132 {
133     int T;
134     long long n;
135 
136     scanf("%d", &T);
137     prime();
138     while (T--)
139     {
140         scanf("%I64d", &n);
141         if (n < N)
142         {
143             if (tag[n] == 0)
144                 puts("Prime");
145             else
146                 printf("%d\n", tag[n]);
147             continue;
148         }
149         if (MillerRabin(n))
150             puts("Prime");
151         else
152         {
153             ans = 0xfffffffffffffffLL;
154             factorization(n);
155             printf("%I64d\n", ans);
156         }
157     }
158 
159     return 0;
160 }
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