100扇门，100个人，第i个人经过门号可以整除i的门。经过时，如果门开就关，如果门关就开。问最后所有门的状态是什么。

100扇门，100个人，第i个人经过门号可以整除i的门。经过时，如果门开就关，如果门关就开。问最后所有门的状态是什么。

#include    < stdio.h >  

#define    N   100 
#define    OPEN   1 
#define    CLOSED   0 

void    switch_door( int     * door) 
{ 
         if ( * door    ==    OPEN) 
                 * door    =    CLOSED; 
         else  
                 * door    =    OPEN; 
}  

int    main( void ) 
{ 
         int    door[N    +     1 ];    //    waste   a   door 
         int    person; 
         int    i; 

         for (i    =     1 ;   i    <=    N;   i ++ ) 
                door[i]    =    OPEN;    //    all   doors   are   open   at   first 

         for (i    =     1 ;   i    <=    N;   i ++ ) 
                 for (person    =     1 ;   person    <=    N;   person ++ )    //    person   pass   through   the   door 
                         if (i    %    person    ==     0 ) 
                                switch_door( & door[i]); 

         for (i    =     1 ;   i    <=    N;   i ++ ) 
                printf(  " door   %d:   %s\n  " ,   i,   door[i]    ?     " Open  "    :    " Closed  " ); 

         return     0 ; 
}  

给一个此题的思想：
要看门的状态，主要是看这扇门开关次数，开关奇数次会使门的状态改变，而偶数次就不会。而只要能够知道当前门的编号能够整除的自然数，就可以知道门的状态是否改变了。从而知道门当最终的状态。

下面我们将所有的数分为两组，平方数（1，4，9……）和非平方数（为什么要这么分？下面就知道了）。
现在讨论非平方数的情况。我们假设门号为N,同时假设从1开始到int(N^(1/2))(也就是N的开方数舍小数取整），总共有M个数能整除N,则从int(N^(1/2))+1到N,总共则对应也有M个数能够将N整除。（这句话仔细想一下）。
在此，就有2*M个数能将N整除，它是一个偶数。因此门开关了偶数次，门的状态最后不会被改变。

现在讨论平方数，因为N^(1/2)这个数是一个整数，因此我们将从1到N的所有的数用N^(1/2)这个数分成两部分(不包括N^(1/2))，同样假设前半部分有M个数可以将N整除，则后半部分也有M个数可以将N整除，这样就有2*M个数可以整除N了，再加上N^(1/2)这个数。总共就有2*M+1个数可以整除N,也就是编号为N的门会开关2*M+1次，门的状态就会被改变了。

综上，如果门号数是平方数的，门的状态就会发生改变，而不是平方数的就不会改变状态了。因此，只要检查门是否为完全平方数就可以判断门的状态为开还是为关了。

帖上代码： 
#include    < iostream >  
#include    < cmath >  
using     namespace    std; 

int    main() 
{ 
         int    k; 
         for ( int    i    =     1 ;   i    <= 100 ;   i ++ ) 
         { 
        cout    <   <     " Door    "     <   <    i   ; 
        k    =     int (sqrt(i)); 
         if (k * k    ==    i) 
        cout    <   <     " :   Closed  " ; 
         else  
        cout    <   <     " :   Open  " ; 
        cout    <   <    endl; 
        }  
return     0 ; 
}  
当然，这是利用了人数与门数是相等的情况。如果个数不同的话，还是按照一楼的来。

Reference : http://topic.csdn.net/u/20070620/14/3d5e96d5-169a-4bc6-887c-ca8639cd8c63.html