[导入]偏序集 Dilworth 定理 poj 1065 3636 1548

[导入]偏序集 Dilworth 定理 poj 1065 3636 1548

  在Partially order set(偏序集)有一个非常NX的定理叫Dilworth Theorem。上图是偏序集的一个Hasse diagram，偏序集的定义是 偏序是在集合X上的二元关系≤，它满足自反性、反对称性和传递性。即，对于X中的任意元素a,b和c，有: 自反性：a≤a; 反对称性：如果a≤b且b≤a，则有a=b; 传递性：如果a≤b且b≤c，则a≤c 。 带有偏序关系的集合称为偏序集。 令(X,≤)是一个偏序集，对于集合中的两个元素a、b，如果有a≤b或者b≤a，则称a和b是可比的，否则a和b不可比。 在X中，对于元素a，如果任意元素b，由b≤a得出b=a，则称a为极小元。 一个反链A是X的一个子集，它的任意两个元素都不能进行比较。 一个链C是X的一个子集，它的任意两个元素都可比。 下面是两个重要定理： 定理1 令（X,≤）是一个有限偏序集，并令r是其最大链的大小。则X可以被划分成r个但不能再少的反链。 其对偶定理称为Dilworth定理： 定理2 令（X,≤）是一个有限偏序集，并令m是反链的最大的大小。则X可以被划分成m个但不能再少的链。 搞清楚了反链和链的定义，就能够很好的从Hasse Diagram中得到理解。链就是从纵向的角度看 Hasse Diagram ,反链是从横向的角度看Hasse Diagram。 定理一，就是至少有r行构成反链关系。 定理二，就是至少有m列构成链关系。    我们来考虑一个导弹拦截问题，就是求一个序列的最长不上升子序列，以及求能最少划分成几组不上升子序列。 很显然第一个是动态规划，动态规划的过程就是求Hasse Diagram的过程！！！    第二问就是求最少能够划分成几个链，根据定理2 [...]
文章来源: http://www.lxlsosi.tk/2011/05/26/%e5%81%8f%e5%ba%8f%e9%9b%86-dilworth-%e5%ae%9a%e7%90%86-poj-1065-3636-1548/