范德蒙恒等式的证明

今天我们来认识组合数学中一个重要的恒等式---范德蒙恒等式。这个恒等式的表述如下

 

          

 

很自然的公式,接下来一起来看看它的证明,在维基百科上给出了两种方法证明,分别如下

 

(1)组合方法证明

 

    甲班有个同学,乙班有个同学,从两个班中选出个一共有种不同的选法。而换一种思维方式

 

    从甲班中选取个同学,从乙班中选取个同学,共有种方法,而对所有的

    就是

            

 

    可以看出这两种方法应该是相等的,即

 

            

 

(2)生成函数法证明

 

    由于,对于等式左边有

 

   

 

    而对于等式右边有

 

    

 

    左右两边一比较可知

 

   

 

     成立,证明完毕!

 

 

接下来我们看看一些关于范德蒙恒等式的衍生问题。

 

(1)证明下面恒等式

 

    

 

证明:

 

             

 

                令,那么有

 

    

 

      证明完毕!

 

 

(2)证明下列的恒等式

 

    范德蒙恒等式的证明_第1张图片

 

 

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