n后问题

n后问题

回溯算法的经典例题。大一的时候就有耳闻，却一直没有实现，今天终于有机会把它写出来，小有成就感啊。
这里算法采用的是深度优先搜索，从第一个节点开始，按行优先的原则逐个扫描每个点，如果该点合法，可以选择放一个queen也可以选择不放，当该点不合法时，就跳过该点接着判断下一个点。
有人把回溯算法说成是“万能算法”，这么说的原因是回溯实际上就是枚举，它的最坏情况始终是指数或阶乘级的。对它的优化主要体现在约“约束函数”和“限界函数”这两个剪枝函数上。
我曾经尝试用回溯写过背包，结果是无情的超时，与动态规划的O(NV)来说，回溯O(2^N)的时间复杂度真是不敢恭维。因此对回溯有些“偏见”。但是前面说过了，回溯的剪枝是很重要的，剪枝函数做的好可以在实际中大大降低回溯的时间复杂度。
下面是我八皇后问题的代码：

#include<stdio.h>//eight queens
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#define LEN 100
int mp[LEN][LEN];
int len;
int nq;
long long count;
long long countall;
int canput(int x, int y)
{
    int i, j;
    if(mp[x][y] == 1)
        return 0;
    for(i = 0; i < len; i++)
    {
        if(mp[x][i] == 1 || mp[i][y] == 1)
            return 0;
    }
    for(i = x - 1, j = y - 1; i >= 0 && j >= 0; i--, j--)
        if(mp[i][j] == 1)
            return 0;
    for(i = x + 1, j = y + 1; i < len && j < len; i++, j++)
        if(mp[i][j] == 1)
            return 0;

    for(i = x - 1, j = y + 1; i >= 0 && j < len; i--, j++)
        if(mp[i][j] == 1)
            return 0;
    for(i = x + 1, j = y - 1; i < len && j >= 0; i++, j--)
        if(mp[i][j] == 1)
            return 0;
    return 1;
}
void DFS(int m)
{
    countall++;
    int i, j;
    if(m < len * len)
    {
        int x = m / len;
        int y = m % len;
        if(canput(x, y) == 1)//can put queen in this point
        {
            nq++;
            mp[x][y] = 1;
            DFS(m + 1);
            mp[x][y] = 0;
            nq--;
            
            DFS(m + 1);
        }
        else//can not put queen in this point
            DFS(m + 1);
    }
    else if(nq == len)
    {
        count++;
        printf("out end map[][]:\n");
        for(i = 0; i < len; i++)
        {
            for(j = 0; j < len; j++)
                printf("%d ", mp[i][j]);
            putchar(10);
        }
    }
}
int main()
{
    int i, j;
    len = 8;
    for(i = 0; i < len; i++)
        for(j = 0; j < len; j++)
            mp[i][j] = 0;
    count = 0;
    nq = 0;
    countall = 0;
    DFS(0);
    printf("count = %ld\n", count);
    //printf("countall = %ld\n", countall);
    system("pause");
    return 0;
}

看了书上的代码才发现自己写的效率不高。上面我写的是从棋盘的第一个位置开始，依次判每一个位置。事实上，只要这一行有皇后，该行的其余地方就不能放了，我之前的做法无疑增加了分支个数。还有，我的限界函数写的太没技术含量，看完书上利用斜率写限界函数时，真是感觉很惭愧啊。
以下是书上的经典算法，可与上面的算法对比一下，效率差距很明显。

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#define LEN 20
#define LENQ 8
int x[LEN];
int sum;
int Mabs(int a)
{
    if(a < 0)
        return -a;
    return a;
}
int Place(int k)
{
    for(int j = 1; j < k; j++)
        if(Mabs(k - j) == Mabs(x[j] - x[k]) || x[j] == x[k])
            return 0;
    return 1;
}
void Queen(int t)
{
    if(t > LENQ)
    {
        sum++;
        for(int i = 1; i <= LENQ; i++)
            printf("%d ", x[i]);
        putchar(10);
    }
    else
        for(int i = 1; i <= LENQ; i++)
        {
            x[t] = i;
            if(Place(t))
                Queen(t + 1);
        }
}
int main()
{
    int i, j;
    sum = 0;
    Queen(1);
    printf("sum = %d\n", sum);
    system("pause");
}