树和二叉树

 6.1 树的类型定义

基本术语

结点:数据元素 + 若干指向子树的分支

结点的度:分支的个数

树的度:树中所有结点的度的最大值

叶子结点:度为零的结点

分支结点:度大于零的结点

从根到结点的路径：

孩子结点、双亲结点、兄弟结点、祖先、子孙

结点的层次:假设根结点的层次为1,

第l层的结点的子树根结点的层次为l+1

树的深度：树中叶子结点所在的最大层次

森林：是m（m≥0）棵互不相交的树的集合

任何一棵非空树是一个二元组

Tree = （root，F）

其中：root被称为根结点，F被称为子树森林

 

6.2 二叉树的类型定义

   二叉树 或为空树；或是由一个根结点加上两棵分别称为左子树和右子树的、互不相交的二叉树组成。

  

二叉树的重要特性：

性质 1 ：

在二叉树的第 i 层上至多有2^i-1个结点(i≥1)

性质 2 ：

深度为k的二叉树上至多含2^k-1个结点（k≥1）

性质 3 ：

对任何一棵二叉树，若他含有n₀个叶子结点、n₂个度为2的结点，则必存在关系式：n₀ = n₂+1

　

两类特殊的二叉树：

满二叉树：指的是深度为k且含有2^k-1个结点的二叉树

完全二叉树：树中所含的n个结点和满二叉树中编号为1

至n的结点一一对应

　

性质 4 ：

具有n个结点的完全二叉树的深度为

性质 5 ：

若对含n个结点的二叉树从上到下且从左至右进行1至n的编号，则对二叉树中任意一个编号为i的结点：

(1) 若i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲,

否则，编号为 的结点为其双亲结点;

(2) 若2i>n，则该结点无左孩子，

否则，编号为2i的结点为其左孩子结点；

(3) 若2i+1>n，则该结点无右孩子结点，

否则，编号为2i+1的结点为其右孩子结点。

 

6.3 二叉树的存储结构

一、 二叉树的顺序存储表示

#define MAX_TREE_SIZE 100 // 二叉树的最大结点数

typedef TElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; // 0号单元存储根结点

SqBiTree bt;

显然，这种顺序存储结构仅适用于完全二叉树。因为，在最坏的情况下，一个深度为 k 且只有 k 个结点的单支树（树中不存在度为 2 的结点）却需要长度为2^k-1的一维数组。

 

二、二叉树的链式存储表示

1. 二叉链表

typedef  struct  BiTNode  {

TElemType data;

struct BiTNode *lchild, *rchild; // 左右孩子指针

}  BiTNode,  * BiTree;

2．三叉链表

typedef  struct  TriTNode  {

TElemType data;

struct TriTNode *lchild, *rchild; // 左右孩子指针

struct TriTNode *parent; // 

}  TriTNode,  * TriTree;

3．双亲链表

typedef  struct  BPTNode  {

TElemType data;

int *parent; // 指向双亲的指针

char LRTag; // 左、右孩子标志域

}  BPTNode

typedef  struct   {

BPTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];

int num_node; // 结点数目

}  BPTree