最小生成树 Kruskal算法

Kruskal算法

 

1.概览

Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。

 

2.算法简单描述

1).记Graph中有v个顶点，e个边

2).新建图Graph_new，Graph_new中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边

3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序

4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中

                if 这条边连接的两个节点于图Graph_new中不在同一个连通分量中

                                         添加这条边到图Graph_new中

 

图例描述：

首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边 

 

将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了下图

 

 

 

 在剩下的图中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5

 

依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。

 

下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。

最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。最后成功的图就是下图：

 

 

 

 

3.简单证明Kruskal算法

对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。

归纳基础：

n=1，显然能够找到最小生成树。

归纳过程：

假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v'，把原来接在u和v的边都接到v'上去，这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)，G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。

我们证明T'+{<u,v>}是G的最小生成树。

用反证法，如果T'+{<u,v>}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T)<W(T'+{<u,v>})。显然T应该包含<u,v>，否则，可以用<u,v>加入到T中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>}，是G'的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T')，也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>})，产生了矛盾。于是假设不成立，T'+{<u,v>}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。

由数学归纳法，Kruskal算法得证。

 

 

 1 typedef struct          
 2 {  3     char vertex[VertexNum];                                //顶点表 
 4     int edges[VertexNum][VertexNum];                       //邻接矩阵,可看做边表 
 5     int n,e;                                               //图中当前的顶点数和边数 
 6 }MGraph;  7  
 8 typedef struct node  9 { 10     int u;                                                 //边的起始顶点 
11     int v;                                                 //边的终止顶点 
12     int w;                                                 //边的权值 
13 }Edge; 14 
15 void kruskal(MGraph G) 16 { 17     int i,j,u1,v1,sn1,sn2,k; 18     int vset[VertexNum];                                    //辅助数组，判定两个顶点是否连通 
19     Edge E[EdgeNum];                                         //存放所有的边 
20     k=0;                                                    //E数组的下标从0开始 
21     for (i=0;i<G.n;i++) 22  { 23         for (j=0;j<G.n;j++) 24  { 25             if (G.edges[i][j]!=0 && G.edges[i][j]!=INF) 26  { 27                 E[k].u=i; 28                 E[k].v=j; 29                 E[k].w=G.edges[i][j]; 30                 k++; 31  } 32  } 33  } 34     heapsort(E,k,sizeof(E[0]));                            //堆排序，按权值从小到大排列 
35     for (i=0;i<G.n;i++)                                    //初始化辅助数组 
36  { 37         vset[i]=i; 38  } 39     k=1;                                                   //生成的边数，最后要刚好为总边数 
40     j=0;                                                   //E中的下标 
41     while (k<G.n) 42  { 43         sn1=vset[E[j].u]; 44         sn2=vset[E[j].v];                                  //得到两顶点属于的集合编号 
45         if (sn1!=sn2)                                      //不在同一集合编号内的话，把边加入最小生成树 
46  { 47             printf("%d ---> %d, %d",E[j].u,E[j].v,E[j].w); 48             k++; 49             for (i=0;i<G.n;i++) 50  { 51                 if (vset[i]==sn2) 52  { 53                     vset[i]=sn1; 54  } 55  } 56  } 57         j++; 58  } 59 }  

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