题目链接:Buy the Ticket
解题思路:当你去寻找M个入栈和N个退栈的序列的时候,其中有许多不能满足题意的。但是根据Catalan数的证明方法类似联想到,当每一组非法序列到K的位置的时候正好出现非法的情况,再将前面K位的全部数字翻转,1变为0,0变为1。这样由于前面部分的1变得比0多了1,最终导致全部的1多了一个,全部的0少了一个。就是m + 1和n - 1.由之前证明Catalan数的想法可知,每一个由m + 1个1和n - 1个0组成的序列都对应一个非法序列,只需从中减去就好了。剩下的就是大数的问题了。
PS:简单说一下为什么这个序列是一一对应的,应为由m + 1个1和n - 1个0组成的序列当中,肯定在某一位的时候1的个数比0的个数多了1个。而这个位置肯定为奇数。那么我们就将这种类型的序列分为了好多个组
1.前1个数字中正好到第1位的时候1的总数正好比0多1
2.前3个数字中正好到第3位的时候1的总数正好比0多1
3.前5个数字中正好到第5位的时候1的总数正好比0多1
以此类推。。。。。。。。。。。。。
那么我们考虑两个问题:
1.是否涵盖了全部的情况,我们可以想前N(偶数)位的的时候有两种情况,要不是已经1比0多了,要不就是0和1一样多,要不就0比1多,前一种情况涵盖在上面所说的小于N的情况,后面两种包含在比N大的情况中。
2.是否有重叠的部分,我们之前用的词都是正好,正好到第5位的时候1比0多,如果前面也有正好到第三位1比0多的时候,就不应归在这一类中。所以,理论上没有重复的。
#include<stdio.h> #include<string.h> #define MAX 1000 typedef struct A{ int num[MAX]; int len; A(){ memset(num, 0, sizeof(num)); len = 0; } A(int a){ memset(num, 0, sizeof(num)); len = 0; while(a){ num[len++] = a % 10; a /= 10; } } A(char kk[]){ int i, j, k; memset(num, 0, sizeof(num)); len = 0; for(i = strlen(kk) - 1; i >= 0; i--){ num[len++] = kk[i] - '0'; } } }Big_int; Big_int add(Big_int a, Big_int b){ Big_int ret = Big_int(); int rem = 0; int i, j, k; for(i = 0; i < MAX; i++){ if(!rem && !a.num[i] && !b.num[i]){ ret.len = i; break; } ret.num[i] = (rem + a.num[i] + b.num[i]) % 10; rem = (rem + a.num[i] + b.num[i]) / 10; } return ret; } Big_int subtract(Big_int a, Big_int b){ Big_int ret = Big_int(); int i, j, k; for(i = 0; i < MAX; i++){ if(!a.num[i] && !b.num[i]){ ret.len = i; break; } if(a.num[i] < b.num[i]){ int tem = i + 1; while(!a.num[tem]){ a.num[tem] = 9; tem++; } a.num[tem]--; ret.num[i] = 10 + a.num[i] - b.num[i]; } else{ ret.num[i] = a.num[i] - b.num[i]; } } return ret; } Big_int multiply(Big_int a, Big_int b){ Big_int ret = Big_int(); int i, j, k; for(i = 0; i < a.len; i++){ for(j = 0; j < b.len; j++){ ret.num[i + j] += a.num[i] * b.num[j]; } } int rem = 0; for(i = 0; i < MAX; i++){ int tem = rem + ret.num[i]; ret.num[i] = tem % 10; rem = tem / 10; } for(i = MAX - 1; ; i--){ if(ret.num[i] != 0){ ret.len = i + 1; break; } } return ret; } Big_int divide(Big_int a, int b){ Big_int ret; int i, j, k; int rem = 0; for(i = a.len - 1; i >= 0; i--){ ret.num[i] = (rem * 10 + a.num[i]) / b; rem = (rem * 10 + a.num[i]) % b; } for(i = MAX - 1; ; i--){ if(ret.num[i] != 0){ ret.len = i + 1; break; } } return ret; } int mod(Big_int a, int b){ int i, j, k, ret = 0; for(i = a.len - 1; i >= 0; i--){ ret = (a.num[i] % b + ((ret % b) * (10 % b)) % b) % b; } return ret; } Big_int power(Big_int a, int b){ Big_int ret = Big_int(1); int i, j, k; Big_int tem = Big_int(1); tem = multiply(tem, a); while(b){ if(b & 1){ ret = multiply(ret, tem); } b >>= 1; tem = multiply(tem, tem); } for(i = MAX - 1; ; i--){ if(ret.num[i] != 0){ ret.len = i + 1; break; } } return ret; } void display(Big_int a){ int i, j, k; if(a.len == 0){ printf("0"); } else{ for(i = a.len - 1; i >= 0; i--){ printf("%d", a.num[i]); } } printf("\n"); } int main(){ int i, j, k; int m, n, tot = 1; while(scanf("%d%d", &m, &n) && (n || m)){ printf("Test #%d:\n", tot++); if(n > m){ printf("0\n"); continue; } Big_int ans = Big_int(1); for(i = 2; i <= m + n; i++){ ans = multiply(ans, Big_int(i)); } ans = multiply(ans, Big_int(m + 1 - n)); ans = divide(ans, m + 1); display(ans); } return 0; }