每日一题(7)——0-1背包问题(动态规划)

问题描述:

一个小偷去偷金库(这个小偷比较NB~),带了一个能承重N的背包,金库里放了不同品质的金砖,以(重量,价值)形式给出,问小偷怎样拿,获利最大?

输入:

第一行:金砖数目, 背包承重能力;

其他行:金砖重量, 金砖价值

输出:

带走金砖数目;带走最大价值;金砖序号

input:

3 50
10 60
20 100
30 120

output:

2

220  

2 3

 

这道题是典型的动态规划,跟公正陪审团问题的解法相似:

利用

f[j][k]:j=带走金砖数目,k=金砖重量,f[j][k]:带走金砖数目=j,且金砖重量=k时的价值;

 

分几层循环,

最外层遍历所有的数量j:[0,n)

第二层遍历所有可能的重量:k:[0,M] 判断f[j][k]>=0来决定是否进入循环(根据j 来判断,根据j 计算j+1)

内层遍历所有的金砖i:[1,n]

if( f[j][k]+v[i] > f[j+1][k+w[i]]&&k+w[i]<=M)

{

检测i是否出现过,若没有出现过 f[j+1][k+w[i]] = f[j][k]+v[i];(初始条件是f[0][0]=0;

}

 

 

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include <set>

using namespace std;

int f[30][1000];

int Path[30][1000];

int w[300];//质量;
int v[300]; //价值;

set<int> index;//存放最终方案

int main()
{
	int i,j,k;
	int t1,t2;
	int n,M;//n为数量,m为最大重量;


	while(scanf("%d %d",&n,&M))
	{
		if(n==0&&M==0)break;
		for(i=1;i<=n;i++)
			scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);
		memset(f,-1,sizeof(f));
		memset(Path,0,sizeof(Path));
		
		f[0][0]=0;//初始化条件,根据f[0][0]推以后的结果

		for(j=0;j<n;j++)					//每次循环选出第j个物品,最多n个;
		{
			for(k=0; k <=M; k++)	//可能的重量为[0,M]; 
				if(f[j][k]>=0)				//方案f[j,k]可行,从f[0][0]开始; 
				{
					for(i=1; i<=n; i++)
						if( f[j][k]+v[i] > f[j+1][k+w[i]]&&k+w[i]<=M)	//若f[j+1][k+w[i]]已经有值,则保存较大的一个;
						{
							t1=j;t2=k;
							while(t1>0&&Path[t1][t2]!=i)//验证i是否在前面出现过;
							{
								t2-=w[Path[t1][t2]];			//减前一个元素的重量;
								t1--;
							}
							if(t1==0)//若i未出现过;
							{
								f[j+1][k+w[i]] = f[j][k]+v[i];
								Path[j+1][k+w[i]]=i;
							}         
						}    
				}    
		}

		int maxNum=0,maxV=0,maxW=0;
		for (int i=1; i<=n; i++)
		{
			for (int j=0; j<=M; j++)//注意必须 =M
			{
				if(maxV<f[i][j]) 
				{
					maxV=f[i][j];
					maxNum=i;
					maxW=j;
				}
			}
		}
		cout<<"MAX Value: "<<maxV<<endl;
		cout<<"MAX num: "<<maxNum<<endl;

		index.clear();
		for (int i=0; i<maxNum; i++)
		{
			int id=Path[maxNum-i][maxW];//若直接输出,由于递归,则是乱序的;
			index.insert(id);
			maxW -= w[id];
		}
		cout<<endl;
		for(set<int>::iterator iter=index.begin(); iter!=index.end(); iter++) cout<<*iter<<" ";
	}  
	return 0;   
}

每日一题(7)——0-1背包问题(动态规划)_第1张图片

0-1背包问题和陪审团问题都是属于动态规划中的同一类问题,这种问题比较难做(我比较菜鸟,这是我的感觉啊~)

这类问题关键要换个思路,要给最优解添加约束条件:f[j][k],k金砖重量就是约束条件,要根据约束条件k进行迭代k[0,M],迭代的过程要首先判断是否符合题意:if(f[j][k]>=0),

最内层要不断的组合没有计算过的元素,根据已知推未知f[j+1][k+w[i]] = f[j][k]+v[i];

 

另外部分背包问题可以用贪心算法解决(相当于小偷偷的是金沙)背包问题还有很多种,这都以后再讲。

 

续……

读完背包九讲发现我解题的方法略复杂,其实利用一维数组就可以实现动态规划,

根据状态转移方程:f[w]=max{f[w], f[w-c]+v}

f[w]表示在重量为w时的最优解,


参考网上一位大牛重新写的代码:

#include <iostream>

using namespace std;

const int nMax=400;		//待选物品数;
const int mMax=10000;  //最大载重;

struct{
	int wei,val;
}node[nMax];

int main()
{
	int m, n, i ,w ,dp[mMax];
	while(cin>>n>>m)//n为待选物品数量,m为最大载重量;
	{
		if(m==0&&n==0) break;
		for (i=1; i<=n;i++)
			cin>>node[i].wei>>node[i].val;
		memset(dp, 0, (m+1)*sizeof(int));

		for (i=1; i<=n; i++)
			for ( w=m; w>=node[i].wei; w-- )
				if ( dp[w] < dp[w - node[i].wei] + node[i].val )
					dp[w] = dp[w - node[i].wei] + node[i].val;

		cout<<dp[m]<<endl;
	}
}


DynamicProgram问题也真是博大精深呐~ 题在而不在多~

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