青蛙跳台阶问题的四种解法

http://raychase.iteye.com/blog/1337359

题目：一只青蛙一次可以跳1级台阶，也可以跳2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

这道题还被ITEye放在了博文视点杯有奖答题活动里面。

 

我提供三种解法。

 

1、递归求解：

青蛙每跳一次前，有这样三种情况：

（1）只剩1级或0级台阶了，只能跳一步或者无法再跳了，那么这条路也走到了终点，走法的种类数可以加1；

（2）可以走2级台阶；

（3）可以走1级台阶。

于是递归方法求解：

 /**
  * 递归方法
  */
 public static int calc(int n) {
     return recursiveCalc(n, 0);
 }

 private static int recursiveCalc(int n, int total) {
     if (1 == n || 0 == n)
         return ++total;

     total = recursiveCalc(n - 1, total);
     return recursiveCalc(n - 2, total);
 }

 

 

2、概率论思路求解：

首先把问题抽象成简单的数学模型，设2步台阶跳了x次，1步台阶跳了y次，那么：

2x + y = n

于是，当 x = i ，可知 x >= 0 ，且 x < n/2 （向下取整），设某时刻的 x = i ，那么有 y = n - 2 * x ，于是，总共需要走 z = i + n - 2 * x 步。

这时，问题即转化为：

z步骤中，有x个两步，y个一步，相当于z个空当，由x、y去填充，那么不同填充方法的数目符合概率公式：

C(x,z) = z! / ((z-x)!x!)

即从排列z中取其中x个数的种类，x内部无序：

 /**
  * 概率论
  */
 public static int calc2(int n) {
     int total = 0;
     for (int i = 0; i <= n / 2; i++)
         total += factorial((i) + (n - 2 * i)) / factorial(i)
                 / factorial(n - 2 * i);
     return total;
 }

 private static int factorial(int n) {
     if (0 == n)
         return 1;

     int total = 1;
     for (int i = 1; i <= n; i++)
         total *= i;
     return total;
 }

 

 

3、数学归纳法求解：

如果n=1，总步数f(n)=1；如果n=2，总步数f(n)=2。

另一方面，当n>=3，当前还剩的步数f(n)，如果接下去跳一步，那么还剩下的步数是f(n-1)；如果接下去跳两步，那么还剩下的步数是f(n-2)，故：f(n)=f(n-1)+f(n-2)。

现设s3=f(n)，s2=f(n-2)，s1=f(n-1)，从时间、空间复杂度来说，这也是最简单的一种方法：

 /**
  * 数学归纳法
  */
 public static int calc3(int n) {
     if (1 == n || 2 == n)
         return n;

     int s1 = 1, s2 = 2, s3 = 1;
     for (int i = 3; i <= n; i++) {
         s3 = s1 + s2;
         s1 = s2;
         s2 = s3;
     }
     return s3;
 }

 

 

聪明的你，还有什么办法？

欢迎和我讨论。 :)

suirosu找到一种：

由两步台阶的多少可以推论出：

两步台阶：

0  1                 2                3

单步台阶：

n   n-1*2         n-2*2          n-2*3  ...................

总的步数：

n  1+(n-1*2)   2+(n-2*2)   3+(n-2*3)...........

总步数由单双步组成，求单步或双步的分布，再总相加就可求出总的步数。求一种步的分布可表示如下：

C(n,0)    C(1+(n-1*2),1) C(2+(n-2*2),2) C(3+(n-2*3),3).......

 写成程序可表示如下：

#include <iostream>
#include <deque>
using namespace std;


unsigned int C(int n, int m)
{
deque<int> nset;
for (int i = 2; i <= m; i++)nset.push_back(i);
unsigned int mulrl1 = 1;
for (int ni = n; ni > n-m; ni--)
{
int nitemp = ni;
for (int j = nset.size() - 1; j >= 0 && nset.size();j--)
{
if (nitemp%nset[j] == 0)
{
nitemp = nitemp / nset[j];
nset.erase(nset.begin() + j);
}
}
mulrl1 = mulrl1*nitemp;
}
for (auto nsetit = nset.begin(); nsetit != nset.end(); nsetit++)
{
mulrl1 = mulrl1 / *nsetit;
}
return mulrl1;
}


int main(int argc, char *argv[])
{
int nStep = 0;
cout << "输入要跳的台阶数： ";
cin >> nStep;
int Total = 0;
for (int i = 0; i < nStep; i++)
{
Total += C(nStep - i, i);;
}
cout << "共有：" << Total << "种跳法。" << endl;
}