两个排序数组合并第k或前k个最小值问题

求最小一般用二分，求前最小一般用堆

偶尔看到一个问题，搜索了一些解法，用来存着

1.X[1..n] 和 Y[1..n]为两个数组，每个都包含n个已排好序的数。给出一个求数组X和Y中所有2n个元素的中位数的O(lgn）时间的算法

 

参考 ：http://blog.csdn.net/zhanglei8893/article/details/6314002

分析与解答：

      若中位数位于X中，不妨设为X[k]，即在X中有k个元素小于等于中位数，n-k个元素大于等于中位数。由于X[k]为合并后的2n个元素的中位数，则在Y中有n-k个元素小于等于中位数，k个元素大于等于中位数，即

                                       Y[n-k] ≤  X[K] ≤ Y[n-k+1]

看到时间复杂度为O(lgn)，不禁使我们想到二分法，但是和这题有什么关联呢？

二分法每次搜索都能减小一半的范围，在搜索中位数的过程也可以的，下面具体论述:

若X[k]不满足上述等式，分两种情况

(1) X[k] < Y[n-k]

     若中位数是k' < k，则X[k'] ≤  X[k]] < Y[n-k] 。那么在Y中小于等于X[k']的元素数目小于n-k，则X[k']不可能为中位数

     由此只需要搜索k' > k的范围

(2) X[k] > Y[n-k+1]

     若中位数是k' >  k，则X[k'] > X[k] > Y[n-k+1] 。那么在Y中小于等于X[k']的元素数目大于n-k+1，则X[k']不可能为中位数

     由此只需要搜索k' < k的范围

根据上述特点，我们可以采用二分搜索逐步缩小搜索范围。

整个算法的过程如下：

TWO-ARRAY-MEDIAN(X, Y)
n ← length[X]
median ← FIND-MEDIAN(X, Y, n, 1, n)
if median = NOT-FOUND
  then median ← FIND-MEDIAN(Y, X, n, 1, n)
return median

FIND-MEDIAN(A, B, n, low, high)
if low > high
  then return NOT-FOUND
k ← (low + high)/2
if k=n and A[n] ≤ B[1]
  then return A[n]
elseif k<n and B[n-k]≤A[k]≤B[n-k+1]
  then return A[k]
elseif A[k]<B[n-k]
  then return FIND-MEDIAN(A, B, n, k+1, high)
else return FIND-MEDIAN(A, B, n, low, k-1)

 

 

2.假设a[m]， b[n]是两个排好序的数组，并且没有重复元素，要找第k小的元素

参考： http://bbs.csdn.net/topics/370014294

里面有一种方法挺好的，O(lgk)

为了方便以下描述下标从1开始，

如果m,n>=k时，若k为偶数取i=k/2，j=k/2，若k为奇数，一个向下去整一个向上去整。如果两个值相同，则第k小的就是此值；如果此时一大一小，假设a[i]>b[j]，则i--,j++（0<i,j<n）直到a[i]<=b[j]，则b[j]即为第k小的值。

如果m,n<k，则只要取的两个下标i+j=k即可，方法相同。

3.两个按升序排好的等长数组A[K],B[K]。A[i]+B[j],其中，0<i<K,0<j<K.（数组从0开始的）求前K个小的 A[i]+B[j]，（注意：不是第K个，是前K个，输出结果没要求一定是排好序的，但要求空间复杂度和时间复杂度尽可能最优)

 

开始考虑最小的肯定为A[0]+B[0],如果第k小的是A[m]+B[n]，当i<=m,j<=n时，A[i]+B[j]必<=A[m]+B[n]，必是在前k个最小的数中，则m*n<=k。（后面不会想了）

参考：http://blog.csdn.net/sunnianzhong/article/details/8932374

如果用最小堆求解思路如下：

首先把a0+b0的结果放入堆中，此时堆中只有一个元素，自然满足最小堆条件，然后开始出堆的操作，从堆里面取出根节点（也就是最小的值），

例如是a[i]+b[j]，则需要像最小堆中压入a[i+1]b[j] 和 a[i]+b[j+1]，当然，要保证下标不越界，如果下标越界了则忽略，另外要保证已经压入过堆中的组合（即使已经从堆中被取出了的）不再被压入堆中。不段进行出堆、入堆的操作，重复K次，就得到了K个最小的组合值。

堆的最大深度为logK,所以时间复杂度为K*logK数量级。

空间复杂度O(K)

开始感觉这个思路貌似有问题，感觉局部最小值不一定为全局最小值，但是看完杨氏矩阵又想了想，还是对的，每次搜索都是候选最小值，出堆的是全局最小值。

已知一个2维矩阵，其中的元素每一行从左至右依次增加，每一列从上到下依次增加。即对于矩阵Table有Table[i][j] ≤Table[i][j + 1], Table[i][j] ≤ Table[i + 1][j]，我们也称这样的矩阵为杨氏矩阵。

杨氏矩阵参考http://blog.csdn.net/michealmeng555/article/details/2489923

 

4.给定k个数组，每个数组有k个整数。每个数组中选取一个整数，一共k个整数，取其和，一共可以得到k^k个和。给出方法，求得这k^k个和中，最小的k个。

 

这个题目最终归于第三题，对两个数组求和的最小的k个，求出的k个值作为一个数组再与第三个数组求最小的k个，以此类推。

最后的时间复杂度是O(k^2logk)。