[算法导论读书笔记]Dijkstra算法

算法思想：

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。

其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。

初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其它顶点之间的最短路径长度。

例如，对下图中的有向图，应用Dijkstra算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径的过程列在下表中。

Dijkstra算法的迭代过程：

伪代码：

代码示例：

#include <iostream>
#include <fstream>
using namespace std;

const int MAXN = 100;
const int INFINITE = 100000;
int Adj[MAXN][MAXN];
int N;

int EXTRACT_MIN(int *d, bool *visited, int v)//从邻接点中取d最小的
{
	int len = INFINITE;
	int m = -1;
	for( int i = 1; i <= N; i++ )
	{
		if( !visited[i] && d[i] < len)
		{
			len = d[i];
			m = i;
		}
	}
	return m;
}



void Paint_Path(int *pre, int root)
{
	if( pre[root] == 0 )
	{
		printf("%d", root);
	}
	else
	{
		Paint_Path(pre, pre[root] );
		printf("-->%d", root);
	}
}


void Relax(int *d, int* pre, int u, int v, int w)
{
	if(d[v] > d[u] + w )
	{
		d[v] = d[u] + w;
		pre[v] = u;
	}
}

void Dijkstra( int s )
{
	int i;
	int u;
	int *d;
	int *pre;
	bool *visited;
	d = new int[N];
	pre = new int[N];
	visited = new bool[N];


	//initialize
	for( int i = 1; i <= N; i++)
	{
		d[i] = INFINITE;
		pre[i] = 0;
	}
	d[s] = 0;	

	for( i = 1; i <= N; i++)
	{
		u = EXTRACT_MIN(d, visited, N);	
		visited[u] = true;
		for( int j = 1; j <= N; j++)
		{
			if( !visited[j] )
			{
				Relax(d, pre, u, j, Adj[u][j]);
			}
		}
	}

	for( i = 1; i <= N; i++)
	{
		Paint_Path(pre, i );
		printf("\n");
	}
//	delete [] d;
//	delete [] pre;
//	delete [] visited;
}
int main(int argc, char* argv[])
{
	int i, j;

	ifstream in("data.txt");
	in >> N;
	for( i = 1; i <= N; i++)
	{
		for( j = 1; j <= N; j++)
		{
			in >> Adj[i][j];
		}
	}

	Dijkstra(1);
	return 0;
}

测试结果：

参考资料：

http://www.wutianqi.com/?p=1890

http://net.pku.edu.cn/~course/cs101/2007/resource/Intro2Algorithm/book6/chap25.htm