哪些有理数角度数能用尺规作出

首先介绍一下费马数（Fermat number）:
形如 Fn=2^2^n+1的数，n>=0 . (F后面的n为下标，以下同）
前5个费马数是F0=3,F1=5,F2=17,F3=257,F4=65537,均为素数。但
第6个F5=641*6700417，是个合数。到目前为止，我们只知道以上
的前五个费马数是素数。
高斯（1801）证明了：
仅当h=Fn1*Fn2...*Fns (其中0<=n1<n2<...<ns,s>=1),
并且Fnt (其中t=1,2,...,s)都是素数时，正h边形、（2^k)*h边形
以及2^k边形可用尺规作出。
为了叙述方便，我们下面称形如上面所说的h、(2^k)*h以及2^k形的数为
F_G数。

那么什么样的有理数度数能用尺规作出呢？
为避免误解，列出证明中所用到的显然的结论：
若角度A，B可作出，且m为任意自然数，则角度A-B,A+B,A*m都可以作出。
对于整度数的角有5个结论：
结论1：1度的角不能作出
证明：若能作出1度的角，也就是能作出正360边形，因为3^2|360,
所以360不是F_G数，与高斯的结论不符。
结论2：2度的角不能作出
证明：同上，因为3^2|180，所以180不是F_G数。
结论3：3度的角可以作出
证明：因为120=8*3*5是F_G数。
结论4：对于任意自然数n,3*n度的角都能作出（为方便，允许大于360度）
证明：只需用圆规在圆周上将3度的角弧截n次就形了。
结论5：若m不是3的倍数，则m度的角不能作出
证明：因为3是素数，所以m肯定与3互素，根据数论中的
斐蜀定理，存在整数x,y满足 x*m+y*3=1。
如果m度的角能够作出，则上面的这个等式意味着利用m度的弧和3度的弧
可以作出1度的角，矛盾！
对有理数度数的一般结果：
结论6：设N为F_G数，且N与3和5都互素，m为任意自然数，
则3*m/N 度的角可作出，并且只有此类型的有理数度数可作出
证明： 假设有理数m/n度的角可以作出，其中m与n互素。那么m=(m/n)*n度
的角必能作出，由结论5可知，m是3的倍数，设m=3*k,因为n与m互素，所以
n与k也互素，由斐蜀定理存在整数x,y满足：x*k+y*n=1,那么由结论4
3*y度的角（如果是负数则取绝对值）可以作出，因此 
x*m/n+3*y=（3*k*x+3*y*n)/n=3/n 
度的角也可以作出。那么正360/（3/n）=120*n边形可以作出，由高斯
的结论可知120*n是F_G数，而120=8*3*5，所以n是与3和5互素的F_G数。
反过来，若有理数形如3*m/N (如题设），显然120*N是F_G数，所以
可以作出正120*N边形，得到360/（120*N）=3/N度的角，对自然数m
当然可作出(3/N)*m度的角！
我们现在只剩下一个任务：什么样的费马数是素数？

尺规作图问题引人入胜，感兴趣可阅读更多文章。

古希腊三大名题

三等分任意角

http://mathworld.wolfram.com/FermatNumber.html