Ogre的四元数quaternion
quaternion是一个标量和一个3D向量的组合。q={ w,x,y,z},Ogre中一个默认的quaternion ={1,0,0,0} ,一般用于空间一点的旋转,假设空间一点叫p,将要旋转角度是α,旋转轴是(x,y,z),那么:
p={0,x0,y0,z0}
q= {cos(α/ 2) , sina(α/ 2) Nx, sin(α/ 2)Ny, sin(α/ 2)Nz } (N为单位向量)
p结果 =q*p*q-1
在数学上，quaternion表示复数w+xi+yj+zk，其中i,j,k都是虚数单位,而复数乘法(叉乘)的几何意义实际上就是对复数进行旋转。这也是OGRE为什么要用quaternion的原因(比Matrix更快捷更节省空间),对最简单的二维复数p= x + yi来说，和另一个q = ( conα，sinα)相乘，则表示把p沿逆时针方向旋转α：p’ = pq ,这是2D旋转.
如果要表示3D旋转,就需要3D复数了,于是就有了"四元数",q=w+ix+jy+kz (i,j,k都是虚数)
其中j,j,k关系如下:
i2 = j2 = k2 = -1
i * j = k = -j * i
j * k = i = -k * j
k * i = j = -i * k
四元数加法:
q1 + q2 = (w1+w2) + (x1+x2) i + (y1+y2) j + (z1+z2) k
四元数乘法:
q1 * q2 =
(w1*w2 - x1*x2 - y1*y2 - z1*z2) +
(w1*x2 + x1*w2 + y1*z2 - z1*y2) i +
(w1*y2 - x1*z2 + y1*w2 + z1*x1) j +
(w1*z2 + x1*y2 - y1*x2 + z1*w2) k
OGRE源代码里这样定义乘法:
Quaternion Quaternion::operator* (const Quaternion& rkQ) const
{
// cases p*q != q*p.
return Quaternion
(
w * rkQ.w - x * rkQ.x - y * rkQ.y - z * rkQ.z,
w * rkQ.x + x * rkQ.w + y * rkQ.z - z * rkQ.y,
w * rkQ.y + y * rkQ.w + z * rkQ.x - x * rkQ.z,
w * rkQ.z + z * rkQ.w + x * rkQ.y - y * rkQ.x
);
}