IEEE 754浮点数表示及浮点数转换全解

基本上我们记住几个公式就行了(蓝色字体公式)。

第一：浮点表示形式： N=|s|  E  |         M         |    。 单精度：s=1位，E=8位，M=23位。 双精度 s=1位，E=11位，M=52位

 

第二：bias=2^(k-1) - 1， bias是归一化偏置值，或模，代表指数E所能表达的最大值，k是E的位数。它的作用是将浮点数的值分布向0的方向靠拢，本来2^E是指数函数，函数值在E增大时急剧增大。非常不均匀。2^(E-bias)则使这个值进一步减小，在相同的大E时，函数值不会急剧增大，从而保证了浮点数的分布更均匀一点。实际上整个浮点数的分布都不是均匀的，E越接近于1跳跃越小。E=1和=0时的跳跃是相同的，都是最小精度。从e>M的位数开始，n的值将会以相邻两个浮点数（精度）>1的速度增加。E/e越大的，跳变越大。所以在此时最好不要用浮点数来存储，结果将会很不精确（1的数量级以上近似）。

 

第三：浮点数由这个公式计算得到（N->n）： n=(-1)^s * m * 2^e，或称浮点表示也可以由此公式反推出来(n->N)。

 

先看从n->N的过程:

     整数和小数部分分别转化为二进制，然后合在一起。整数部分：除2取余法，从下往上数。小数部分：乘2取整法，从上往下数。如2.5=10.1，还不算完，由此值计算m,e必须先进行规格化，转化为归一化或非归一化形式，然后统一归一化，然后计算得 E，M值。

分成3种情况:

     a. 当e表达为e=1-bias，m本身为归一化（<1）情形时，如：0.101，或0.0101. 那么m=0.M，m有效数字部分M已经归一化，指数不需要调整E=0。如10.1，如果e=1-bias，m=101... .0,不是归一化形式，所以不是这种情形。

     b. 除了特殊数：0，无穷大，NaN，以及第一种情形之外，m本身一定是非归一化形式，所以一定要将m转化n=1.M*2^e这种形式，如：1.01*2^1。对应于m=1.M，只存储归一化有效数字部分M，需要按照e=|E|-bias，调整指数|E|=e+bias（增加偏置）。

     c. 特殊数：+∞：s=0，E=全1，M=全0；

                    -∞：s=1，E=全1，M=全0；

                    +0：s=0,E=全0，M=全0；

                    -0：s=1,E=全0，M=全0；

                    NaN（不是数）：s=1/0，E=全1，M=不全0；

看看从N->n的过程：

    先看E，M，分别求的e，m，再运用n=....的公式计算最终值。也分为3种情况：

    a. E=0, M<>全0，m本身就是归一化值，0.M=m， e=1-bias。这里需要将m转化为10进制，使用我把它称之为加余除二法的方法（从2进制小数末位开始每位作为余数加到除数上（开始除数为0）依次除2所得最终结果，每次除完结束），或加权求和法（每位小数乘2的负幂次，再求和）。还可以将小数转化为整数*2^-o, 再用加余乘2法的方法（从2进制整数最高位开始每位作为余数加到乘数上（开始乘数为0）依次乘2所得最终结果，每次加完计算结束）。也可以用加权求和法。

                M=全0， n=0；根据s，判断+/-0。

    b. E<>全1, m是非归一化值，1.M=m，e=|E|-bias。仍然需要将m转化为10进制，使用上面a所示方法。

    c. E=全1，M=全0，n=∞，根据s，判断+/-∞。

                    M=不全0，n=NaN （不是一个数）

 

是不是很和谐呢！是不是很简单呢！这就是计算机科学家必须理解的问题。