0-1背包问题

前言

0-1背包问题，动态规划的经典题目，在九度oj上ac将近230道题目后感觉还是动态规划的题目最具有挑战性，因为每个题目你都需要自己描述最优解的结构，自己去递归定义最优解。这个很有难度，但是征服有难度的题目本身就是对自己的提高！

问题描述

我们有n种物品，物品j的重量为wj，价格为pj。我们假定所有物品的重量和价格都是非负的。背包所能承受的最大重量为W。如果限定每种物品只能选择0个或1个，则问题成为0-1背包问题。

思路

我们假定w1,...,wn和W都是正整数。我们将在总重量不超过Y的前提下，前j种物品的总价格所能达到的最高定义为A(j, Y).

A(j, Y)的递推关系为：

• A(0, Y) = 0
• A(j, 0) = 0
• 如果wj > Y, A(j, Y) = A(j - 1, Y)
• 如果wj <= Y, A(j, Y) = max{A(j - 1, Y), pj + A(j - 1, Y - wj)}

解释一下最后一个递推公式：

总重量为Y时背包的最高价值可能有两种情况：

1. 第一种是在Y重量下，可以在前j - 1个物品中得到最大值，这对应于表达式A(j - 1, Y)
2. 第二种是包含了第j个物品，那么对于前j - 1个物品，可以在重量为Y - wj的情况下找到最大价值，综合起来就是pj + A(j - 1, Y- wj)

可以考虑二维数组保存第ｊ个物品在重量Ｙ下的最大值

示例

举一个九度oj上典型的0-1背包题目，采药

题目描述

题目描述：
辰辰是个很有潜能、天资聪颖的孩子，他的梦想是称为世界上最伟大的医师。
为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。
医师把他带到个到处都是草药的山洞里对他说：
“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。
我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？
输入：
输入的第一行有两个整数T（1 <= T <= 1000）和M（1 <= M <= 100），T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。
接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。
输出：
可能有多组测试数据，对于每组数据，
输出只包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。 
样例输入：
70 3
71 100
69 1
1 2
样例输出：
3

ac代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
 
struct herb
{
    int time, value;
};
 
int compare(const void *p, const void *q)
{
    const struct herb *a = p;
    const struct herb *b = q;
 
    return a->time - b->time;
}
 
int max(int i, int j, int (*task)[1001], struct herb *herbs)
{
    int v1, v2;
 
    v1 = task[i - 1][j];
    v2 = herbs[i].value + task[i - 1][j - herbs[i].time];
     
    return (v1 > v2)? v1 : v2;
}
 
 
int dynamic_gatherherb(struct herb *herbs, const int t, const int m)
{
    int i, j, task[101][1001];
 
    for (i = 0; i <= t; i ++)
        task[0][i] = 0;
 
    for (i = 0; i <= m; i ++)
        task[i][0] = 0;
 
     
    for (i = 1; i <= m; i ++) {
        for (j = 1; j <= t; j ++) {
            if (herbs[i].time > j) {
                task[i][j] = task[i - 1][j];
            } else {
                task[i][j] = max(i, j, task, herbs);
            }
        }
    }
 
    return task[m][t];
}
 
int main()
{
    struct herb herbs[105];
    int t, m, i, max;
 
    while (scanf("%d %d", &t, &m) != EOF) {
        // 接收数据
        for (i = 1; i <= m; i ++)
            scanf("%d %d", &herbs[i].time, &herbs[i].value);
        herbs[0].time = herbs[0].value = 0;
 
        // 按采摘时间排序
        qsort(herbs, m, sizeof(herbs[0]), compare);
 
        // 动态规划
        max = dynamic_gatherherb(herbs, t, m);
 
        printf("%d\n", max);
    }
 
    return 0;
}
 
/**************************************************************
    Problem: 1123
    User: wangzhengyi
    Language: C
    Result: Accepted
    Time:90 ms
    Memory:1232 kb
****************************************************************/