如何根据坐标架进行点的坐标变换

1. 如何根据坐标架进行点的坐标变换

首先坐标架定义成 struct PNT3D{ double x,y,z; }; struct FRAME{ PNT3D O, OX, OY, OZ; }; 假设有一个点 p 定义在 frame 所在坐标系 WC(World Coordinate) 之中，也就是说 p 在 frame 之外。为了将 p 转入 frame，我们首先需要作平移 p1 = p - frame.O; 这个时候 p1 相当于定义在一个将 WC 平移到 frame.O 的一个坐标架之中。这个坐标架和 frame.O 供用坐标原点，但是三个坐标轴并不一定相同。为了得到 frame 中的三个坐标分量我们只须将 p1 和三个基矢量作点积 WC->frame 变换公式： p2.x = p1*frame.OX = (p-frame.O)*frame.OX; p2.y = p1*frame.OY = (p-frame.O)*frame.OY; p2.z = p1*frame.OZ = (p-frame.O)*frame.OZ; 其中 * 代表点积。这里所得到的 p2 就是 WC 中的 p 在 frame 中对应的点。到此为止我们完成了电从坐标架之外变换到坐标架内。同样的，我们也可以采用简单的方法把点从坐标架内变换到坐标架之外。 假设 p 是 frame 之内的点，首先 p1 = p.x*frame.OX + p.y*frame.OY + p.z*frame.OZ; 上面的公式将 p 的各个分量作为权值将三个坐标架的基矢量累加起来，得到的 p1 相当于平移 WC 和 frame 重合坐标原点的坐标架中的点。接下来，自然是处理平移 frame->WC 变换公式： p2 = p1 + freame.O; = p.x*frame.OX + p.y*frame.OY + p.z*frame.OZ + frame.O; p2 就是转换到 WC 的点。

2.如何根据坐标架生成变换矩阵

矩阵在图形程序中应用十分广泛。它可以表达更复杂的变换形式。这里所指的矩阵是左乘矩阵，即矩阵位于点的左边。 我们可以用一个矩阵来代表从坐标架外到坐标架中的变换，也可以用一个矩阵代表从坐标架之中到坐标架之外的变换。下面的 mat 是按照行优先规则存放的矩阵。从坐标架中变换到坐标架外 frame->WC 的矩阵如下 frame->WC 变换矩阵： mat[0] = OX.x; mat[1] = OY.x; mat[2] = OZ.x; mat[3] = Oc.x; mat[4] = OX.y; mat[5] = OY.y; mat[6] = OZ.y; mat[7] = Oc.y; mat[8] = OX.z; mat[9] = OY.z; mat[10] = OZ.z; mat[11] = Oc.z; mat[12] = 0; mat[13] = 0; mat[14] = 0; mat[15] = 1; 其中，OX, OY, OZ 是坐标架的三个基矢量，Oc 是坐标架的坐标原点。我们将这个矩阵乘以点 p(x,y,z,1) p1 = mat*p; 我们可以得到 p1 就是 WC 坐标系下面的点。下面是这个矩阵的推导过程，如果觉得头大，可以跳过去。 推导过程 首先我们来看上面得到的根据一个坐标架，从坐标架内转换到坐标架外的公式 Px 是被转换的点，P1 是转换后的点。为了书写方便，我们把 frame.OX 写成 OX，其余类推。于是得到： 这个公式已经可以看到矩阵的影子了。为了进一步向 4*4 的矩阵靠近，我们采用齐次形式： 我们把它逐渐展开，我们就得到了这一大堆东西，这下子矩阵相乘的形式出来了。这里的 4*4 的矩阵，就是上面的 mat 数组。 搞定了 frame->WC 的矩阵，我们现在来搞 WC->frame 的矩阵 WC->frame 变换矩阵： mat[0] = OX.x; mat[1] = OX.y; mat[2] = OX.z; mat[3] = -(Oc.x*OX.x + Oc.y*OX.y + Oc.z*OX.z); mat[4] = OY.x; mat[5] = OY.y; mat[6] = OY.z; mat[7] = -(Oc.x*OY.x + Oc.y*OY.y + Oc.z*OY.z); mat[8] = OZ.x; mat[9] = OZ.y; mat[10] = OZ.z; mat[11] = -(Oc.x*OZ.x + Oc.y*OZ.y + Oc.z*OZ.z); mat[12] = 0; mat[13] = 0; mat[14] = 0; mat[15] = 1; 写代码的时候把这一堆抄过去就行了。如果不想看推导，就跳过下面的部分。 推导过程 同样的我们根据上面的式子出发进行推导 在这里，我们把点也搞成了齐次形式，位的是更好的向 4*4 矩阵迈进。我们继续拆解上面第二个式子的右面部分 其实也很容易出来（不过炮炮是想了很长时间才想出来的：）。

3.如何通过矩阵作点的坐标变换

这个最好办了。我们这里讨论的矩阵都是左乘矩阵，所以把矩阵乘以点就完成了变换。 x = M[0][0]*Px + M[0][1]*Py + M[0][2]*Pz + M[0][3]; y = M[1][0]*Px + M[1][1]*Py + M[1][2]*Pz + M[1][3]; z = M[2][0]*Px + M[2][1]*Py + M[2][2]*Pz + M[2][3]; 这里的 M 是一个 4*4 的二维数组，存放行优先的矩阵。

4.曲线、曲面方程如何作变换

曲线、曲面方程有参数方程、非参数方程等形式。当然曲线、曲面还可能由微分方程描述。这个时候微分方程如果没有公式解，事情就很麻烦。计算机中一般比较容易处理参数方程。参数方程作变换形式上很简单 右边的结果会得到一个矢量，最终可以得到 (F1x, F1y, F1z) 的形式，这是一个新的参数方程。如果曲线曲面由非参数方程描述 F(x,y,z)=0，比如 这个时候，你可以尝试解出 x,y,z： 令 x = u，y = v，可以得到 这下得到参数方程了，可以按照前面讲的步骤作转换。最后你会得到曲线、曲面变换后的参数方程。接下来你可以尝试着消去这些中间参数 u,v。这个过程可能会比较艰难。 如果遇到隐式方程，无法解出，比如 这是最倒霉的情况，求解是没希望的。当然，如果你不要求精确的公式，你还是可以先令 x=u， y=v，代入之后，用泰勒展开求的 z 的级数，这也是一个方法哦：）