POJ 3150 / Uva 1386 Cellular Automaton 解题报告（循环矩阵）

    题目大意：细胞上的数字会随着周围数字的和而变化，求第k轮之后数字的情况。

    解题报告：很容易可以想到矩阵乘法。用快速幂的确可以很快的计算出k次方来。

    可是n最大有500，矩阵乘法的复杂度是n^3，普通算法一定会超时。

    这时就要看矩阵的性质了。仔细观察可以发现矩阵的每一行都是对称的，而且下一行左移一位就是上一行。这种矩阵叫循环矩阵。

    循环矩阵的性质：循环矩阵A，与矩阵B，A*B仍然是循环矩阵。

    根据性质，我们做矩阵乘法时可以只计算第一行。当然，因为第一行已经包含整个矩阵的信息了，所以我们可以只记录第一行。

    用快速幂可以很快的计算出来答案。另外每次计算完之后取模会快很多。POJ上下面的代码是500MS。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long Array[555];

int mod;
int n;

Array a, b, c;

void mul(Array& a, Array& b)
{
    memset(c,0,sizeof(c));
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int k=0;k<n;k++)
            c[i]+=a[k]*b[k>=i?(k-i):(n+k-i)];
    for(int i=0;i<n;i++)
        a[i]=c[i]%mod;
}

void powArray(Array& a, int b)
{
    Array res={1};
    while(b)
    {
        if(b&1)
            mul(res, a);
        mul(a, a);
        b>>=1;
    }

    memcpy(a, res, sizeof(res));
}

int main()
{
    int d, k;
    while(~scanf("%d%d%d%d", &n, &mod, &d, &k))
    {
        memset(a, 0, sizeof(a));
        for(int i=0;i<=d;i++)
            a[i]=a[(n-i)%n]=1;
        powArray(a, k);

        for(int i=0;i<n;i++)
            scanf("%lld", b+i);
        mul(b, a);
        printf("%d", b[0]);
        for(int i=1;i<n;i++)
            printf(" %lld", b[i]);
        puts("");
    }
}

    今年的杭州邀请赛的第一题也是这种类型，当时没做出来，因为连矩阵乘法都看不出来。今天一口气把这题也A了。

    题目链接：HDU 4576

    这道题很有意思……关键是细节。解题报告：解题报告