CERC-2014 K题 - The Imp （博弈DP）

今天打了一场CERC 2014的题目，确实感觉不一样，有点lrj书上的题目的感觉，灵活、看似简单实则难解、算法隐藏较深。  场上只出了4题，都是水题。

赛后发现很多DP，该题就是一道博弈DP。   怪物想让我得到的最少，我想得到的多，两者都选择最优策略，是不是很眼熟？ 其实方法很像紫书P279 ”最大面积最小的三角剖分“ 。

像背包问题，我们按照一定的阶段来递推，那么对于当前物品i ，我又两种决策：取还是不取 。而对于怪物，也有两种决策：用魔法还是不用（前提是还能发动），上面说了，两者都用最优策略，所以状态方程就很显然了：if(j>0)  d[i][j] = max(d[i+1][j],min(a[i].v-a[i].c,d[i+1][j-1]-a[i].c)); 

问题是提交后WA，实在想不出bug，搜了唯一一篇题解上说：通过反证法可以发现，最优序列一定是价值递增的。  

后来经过高神的讲解，大致明白了为什么要先买价值低的。因为怪物不知道未买商品的价值，而我自己只能获得一件商品的价值，那么肯定要将价值高的保留到后面买。

对于相邻两件物品，到底先买哪一件，我们可以做一个假设，每一个假设都有两种情况：价格的高低分类。 这样，我们可以得出结论，其实无论什么情况都应该先买价值低的（请自己试着证明），当然，这是在怪物一定释放魔法的情况下 。而怪物要是不放魔法呢？  其实在DP的过程中已经选取最优方案了（分成了怪物是否释放魔法和我是否买一件商品），所以我可以向后买价值高的。  这样，就完整的解释了为什么要事先按照价值进行排序了。

细节参见代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
#include<list>
#include<cmath>
#include<set>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 100000000;
const int maxn = 200000;
int T,n,m,kase = 0,k,d[maxn][20],vis[maxn][20];
struct node{
    int v,c;
    bool operator < (const node& rhs) const {
        return v < rhs.v;
    }
}a[maxn];
int dp(int i,int j) {
    int& ans = d[i][j];
    if(i == n+1) return ans = 0;
    if(vis[i][j] == kase) return ans;
    vis[i][j] = kase;
    ans = -INF;
    int v;
    if(j > 0) v = min(a[i].v-a[i].c,dp(i+1,j-1)-a[i].c);
    else if(j == 0) v = a[i].v-a[i].c;
    ans = max(dp(i+1,j),v);
    return ans;
}
int main() {
    scanf("%d",&T);
    while(T--) {
        scanf("%d%d",&n,&k);
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            scanf("%d%d",&a[i].v,&a[i].c);
        }
        ++kase;
        sort(a+1,a+n+1);
        int ans = dp(1,k);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}