hdu 2815 Mod Tree 模方程a^x=b(mod n)，n为任意正整数+模板题（扩展Baby Step Giant Step）

//hdu 2815 Mod Tree
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <map>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define LL __int64
LL gcd(LL a,LL b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
//拓展欧几里得定理，求ax+by=gcd(a,b)的一组解(x,y),d=gcd(a,b)
void gcd_mod(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y)
{
    if(!b){d=a;x=1;y=0;}
    else{gcd_mod(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}
}
//求解模方程d*a^(x-c)=b(mod n)。d,a和n互质，无解返回-1
LL log_mod (LL a,LL b,LL n,LL c,LL d)
{
    LL m,v,e=1,i,x,y,dd;
    m=ceil(sqrt(n+0.5));     //x=i*m+j
    map<LL,LL>f;
    f[1]=m;
    for(i=1;i<m;i++)  //建哈希表，保存a^0,a^1,...,a^m-1
    {
        e=(e*a)%n;
        if(!f[e])f[e]=i;
    }
    e=(e*a)%n;//e=a^m
    for(i=0;i<m;i++)//每次增加m次方，遍历所有1<=f<=n
    {
        gcd_mod(d,n,dd,x,y);//d*x+n*y=1-->(d*x)%n=1-->d*(x*b)%n==b
        x=(x*b%n+n)%n;
        if(f[x])
        {
            LL num=f[x];
            f.clear();//需要清空，不然会爆内存
            return c+i*m+(num==m?0:num);
        }
        d=(d*e)%n;
    }

    return -1;
}
int main()
{
    LL a,b,n;
    while(scanf("%I64d%I64d%I64d",&a,&n,&b)!=EOF)
    {
        if(b>=n)
        {
            printf("Orz,I can’t find D!\n");
            continue;
        }
        if(b==0)
        {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        LL ans=0,c=0,d=1,t;
        while((t=gcd(a,n))!=1)
        {
            if(b%t){ans=-1;break;}
            c++;
            n=n/t;
            b=b/t;
            d=d*a/t%n;
            if(d==b){ans=c;break;}//特判下是否成立。
        }
        if(ans!=0)
        {
            if(ans==-1){printf("Orz,I can’t find D!\n");}
            else printf("%I64d\n",ans);
        }
        else
        {
            ans=log_mod(a,b,n,c,d);
            if(ans==-1)printf("Orz,I can’t find D!\n");
            else printf("%I64d\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}
/*
    求解模方程a^x=b(mod n)，n不为素数。拓展Baby Step Giant Step
    模板题。
    
    方法：
    初始d=1,c=0,i=0;
    1.令g=gcd(a,n),若g==1则执行下一步。否则由于a^x=k*n+b;(k为某一整数),则(a/g)*a^k=k*(n/g)+b/g,(b/g为整除，若不成立则无解)
令n=n/g，d=d*a/g，b=b/g,c++则d*a^(x-c)=b(mod n),接着重复1步骤。
    2.通过1步骤后，保证了a和d都与n互质，方程转换为d*a^(x-c)=b(mod n)。由于a和n互质，所以由欧拉定理a^phi(n)==1(mod n),(a,n互质)
可知，phi(n)<=n,a^0==1(mod n),所以构成循环，且循环节不大于n。从而推出如果存在解，则必定1<=x<n。(在此基础上我们就可以用
Baby Step Giant Step方法了)
    3.令m=ceil(sqrt(n)),则m*m>=n。用哈希表存储a^0,a^1,..,a^(m-1)，接着判断1~m*m-1中是否存在解。
    4.为了减少时间，所以用哈希表缩减复杂度。分成m次遍历，每次遍历a^m长度。由于a和d都与n互质，所以gcd(d,n)=1，
所以用拓展的欧几里德定理求得d*x+n*y=gcd(d,n)=1,的一组整数解(x,y)。则d*x+n*y=1-->d*x%n=(d*x+n*y)%n=1-->d*(x*b)%n=((d*x)%n*b%n)%n=b。
所以若x*b在哈希表中存在，值为k，则a^k*d=b(mod n),答案就是ans=k+c+i*m。如果不存在，则令d=d*a^m,i++后遍历下一个a^m，直到遍历a^0到a^(m-1)还未找到，则说明不解并退出。

*/