0-1背包算法（动态规划）

给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?

0-1背包问题是一个特殊的整数规划问题。

 

设所给0-1背包问题的子问题

的最优值为m(i，j)，即m(i，j)是背包容量为j，可选择物品为i，i+1，…，n时0-1背包问题的最优值。由0-1背包问题的最优子结构性质，可以建立计算m(i，j)的递归式如下。

 

 

算法复杂度分析：

从m(i，j)的递归式容易看出，算法需要O(nc)计算时间。当背包容量c很大时，算法需要的计算时间较多。例如，当c>2n时，算法需要Ω(n2n)计算时间。

#define N 12
void Knapsack(int v[],int w[],int c,int n,int m[6][N])
{

 int i,j,jMax,k;
 jMax=(w[n]-1<c)?w[n]-1:c;
 for(i=0;i<=jMax;i++)
 {
  m[n][i]=0;
 }
 for(i=w[n];i<=c;i++)
 {
  m[n][i]=v[n];
 }

 for(i=n-1;i>1;i--)
 {
  jMax=(w[i]-1<c)?w[i]-1:c;
  for(j=0;j<=jMax;j++)
  {
   m[i][j]=m[i+1][j];
  }
  for(j=w[i];j<=c;j++)
  {
   k=j-w[i];
   if(m[i+1][j]<m[i+1][k]+v[i])
   m[i][j]=m[i+1][k]+v[i];
   else
   m[i][j]=m[i+1][j];
  }
 }
 m[1][c]=m[2][c];
 if(c>=w[1])
 {
  k=c-w[1];
  m[1][c]=(m[2][c]>m[2][k]+v[1])?m[2][c]:m[2][k]+v[1];
 }

}
void Traceback(int m[6][N],int w[],int c,int n,int x[])
{
 int i;
 for(i=1;i<n;i++)
 {
  if(m[i][c]==m[i+1][c])
   x[i]=0;
  else
  {
   x[i]=1;
   c-=w[i];
  }
 }
 x[n]=(m[n][c])?1:0;
}
main()
{
      int i,c=10,n=5,w[]={0,2,2,6,5,4},v[]={0,6,3,5,4,6};
      int m[6][N]={0};
      int x[6]={0};
      int j;
      Knapsack(v,w,c,n,m);
      for(i=1;i<=n;i++)
      {
      for(j=1;j<=c;j++)

 printf("%3d",m[i][j]);
 printf("/n");
       }
      Traceback(m,w,c,n,x);
      for(i=1;i<=n;i++)
      {
 if(x[i])
  printf("%4d:%4d",i,v[i]);
      }
      printf("/n");

}