约瑟夫环之二(用递归的思想解决Josephus问题)

原来写过一篇关于约瑟夫问题的链表实现解法 ，刷九度题到http://ac.jobdu.com/problem.php?pid=1356 时，再次遇到这个问题，记下用递归思想解决约瑟夫问题的方法：

初始情况： 0, 1, 2 ......n-2, n-1 (共n个人)

第一个人(编号一定是(m-1)%n,设之为(k-1) ,读者可以分m<n和m>=n的情况分别试下，就可以得出结论) 出列之后，

剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k==m%n的人开始）:

 k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ...,k-3, k-2 

现在我们把他们的编号做一下转换：

x' -> x

k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗！

x ->ｘ＇？(这正是从n-1时的结果反过来推n个人时的编号！)

0 -> k

1 -> k+1

2 -> k+2

...

...

n-2 -> k-2

变回去的公式　x'=(x+k)%n

那么，如何知道(n-1)个人报数的问题的解？只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？只要知道(n-3)的情况就可以了 ---- 这显然就是一个递归问题：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果就是f[n]


递推公式


f[1]=0;

f[i]=(f[i-1]+k)%i = (f[i-1] +m%i) % i = (f[i-1] + m) % i ;  (i>1)

下面分别用递归与迭代实现算法（http://ac.jobdu.com/problem.php?pid=1356）：

1.递归：

#include <stdio.h>
int josephus(int n, int m) {
	if(n == 1) {
		return 0;
	}
	else {
		return (josephus(n-1, m) + m) % n;
	}
}

int main() {
	int n, m;
	while (scanf("%d", &n) == 1) {
		if (!n) {
			break;
		}
		scanf("%d", &m);
		int result = josephus(n, m);
		printf("%d\n", result+1);
	}
	return 0;
}

2.迭代：

#include <stdio.h>
int main() {
	int n, m, i, result;
	while (scanf("%d", &n) == 1) {
		if (!n) {
			break;
		}
		scanf("%d", &m);
		result = 0;
		for (i = 2; i <= n; i++) {
			result = (result + m) % i;
		}
		printf("%d\n", result + 1);
	}
	return 0;
}