计算几何前站之计算误差——摘自《挑战程序设计竞赛》

开始计算几何的一些东西了,

先从误差处理打一打前站。


在处理double之类的浮点数时,需要注意浮点误差。浮点数将数字表示为(尾数)*2^(指数)的形式,对于一定范围内的整数,可以精确表示,但对于0.1这样的简单小数,却无法精确表示。对于不能精确表示的数,只能通过所能表示的数中最接近的数近似表示。近似表示造成的误差则成为舍入误差。


对于double类型,尾数部分大致相当于10进制下的15位。多数情况下,就其计算结果而言,精度已经足够了。但当我们要比较两个计算后的结果时,就需要特别注意。


例如上面的问题(POJ 1127 JackStraw) ,首先求出交点,然后判断交点是否在线段上。如果我们完全不考虑误差,程序将会WA。这是因为由于误差,原本应该相等的结果有可能实际上并不相等。比较包含舍入误差的浮点数时所采用的方法,一般是选取合适的足够小的常数EPS,按如下规则处理

a<0 → a<-EPS

a<=0 → a<EPS

a==0 → abs(a)<EPS


在大多数计算结果不是太大的情况下,都可以使用该方法处理。但在几何问题的计算过程中,常会通过内积(点积)或外积(叉积)得到原坐标值的平方大小的结果,在比较这些大的结果时需要格外注意。假设所取的ESP位10^-10。现在要求对因为误差导致原本相等却实际不等的大约10^8大小的两个数作差,并判断差是否等于0。由于double的精度只有约十进制15位,所得差的绝对值大于EPS,所以会被误判为不等。像这样,求两个非常接近的数的差时将会发生有效位丢失,导致所得结果的有效数字位数大大减少。前面的程序,我们所采取的方法是,在进行浮点数减法时,如果两个数按相对误差比较是相等的就令结果为0。这样我们在计算的过程中处理了误差,所以在与0进行比较时,就可以不考虑误差直接比较了。


众所周知处理误差是一个非常复杂且深奥的问题。不过在程序设计竞赛中,有时候题目描述中会说明计算中的微小误差不会影响结果。即便没有这类说明,大多数情况下,利用上面介绍的方法也足够了。如果无论如何都无法满足精度要求的话,还可以使用别的处理方法。比如说可以使用分数类避免浮点数运算,在C++中还可以使用精度更高的浮点数类型long double,在JAVA中还可以使用BigDecimal之类的高精度浮点数类。此外,对确定是0的结果进行特别处理可以让程序对误差更健壮。

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