【地图投影】墨卡托投影(一)

墨卡托投影

【地图投影】墨卡托投影(一)_第1张图片

墨卡托投影,又称正轴等角圆柱投影,是一种等角的圆柱形地图投影法。本投影法得名于杰拉杜斯·墨卡托(Gerardus Mercator),法兰提斯出身的地理学家、地图学家。他于1569年发表长202厘米、宽124厘米以此方式绘制的世界地图。在以此投影法绘制的地图上,经纬线于任何位置皆垂直相交,使世界地图可以绘制在一个长方形上。由于可显示任两点间的正确方位,航海用途的海图、航路图大都以此方式绘制。在该投影中线型比例尺在图中任意一点周围都保持不变,从而可以保持大陆轮廓投影后的角度和形状不变(即等角);但墨卡托投影会使面积产生变形,极点的比例甚至达到了无穷大。

 

【地图投影】墨卡托投影(一)_第2张图片

墨卡托世界地图1569年)

 

数学计算

下列公式定义适用于墨卡托投影的地图中,从纬线φ和经线λ(其中λ0是地图的中央经线)如何推导为坐标系中的点坐标xy

这是古德曼函数的逆推导:

【地图投影】墨卡托投影(一)_第3张图片

这是古德曼函数:

比例尺与纬度φ的正割成比例,越趋向极地(φ = ±90°)面积变形越大。此外,由公式可知,极点处的y值为正负无穷大。

公式推导

假设地球为正球形。(实际上并非为正球形,而是有扁率的,但制作小比例尺地图时误差可忽略不计。若需更精确,可插入等角纬线。)我们需要将经纬度坐标(λ, φ)转换为笛卡尔坐标(x, y),求以赤道为基准的切柱面投影(即x = λ),并保持形状不变,故:

x = λ可知

给出

因此,yφ的唯一函数,且可得到由积分表

在地图中φ = 0得到y = 0,所以取C = 0.

 

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