《具体数学 人邮》-- 读书笔记
递归问题
1.河内塔 the tower of hanoi
解决这种问题的最好方法是对它稍加推广，婆罗贺摩塔有64个圆盘，河内塔有8个圆盘，让我们来考虑一下，如果有n个圆盘将会怎么样？这样推广的好处是我们可以大大简化问题，并且先究小的情形是大有裨益的。
求解问题的下一步是引入适当的记号：命名并求解。
T(n)=2T(n-1)+1
现在我们可以用递归式对任何n计算T(n)，然而，当n很大时，并没有人真愿意用递归式进行计算，因为太耗时了。那么怎么求解递归式呢？
一种方法是猜出正确的解，然后证明我们的猜想是正确的。
T(n) = 2^(n)-1, n>=0
参考：
T(0)+1 = 1;
T(n)+1 = 2T(n-1)+2, n >0
2.平面上的直线 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
问题：平面上n条直线所界定的区域的最大个数L(n)是多少？
思考：
第n（n>0）条直线使区域的个数增加k个，当且仅当它对k个已有区域进行了分裂；而它对k个已有区域进行分裂，当且仅当它在k-1个不同的地方与前面那些直线相交。两条直线至多相交于一点，因则这条新直线与那n-1条已有直线至多相交于n-1个不同的点，故必定有k<=n。我们就证明了上界，用归纳法容易证明等号成立。
L(n) = L(n-1) + n
(1)n个顶点所定义的一维区域的最大个数
X(n) = C(n,0)+C(n,1) ，C是组合数 (2)n条直线所界定的区域的最大个数
L(n) = C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)
(3)n个平面所定义的三维区域的最大个数
P(n) = C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)
3.约瑟夫问题
问题：
从围成标有记号1到n的圆圈的n个人开始，每隔一个删去一个人，直到只有一个人幸存下来，求幸存者的号码J(n).
对于2n个人，经过一圈后，与n个人的情况很相似，除了每个人的号码加倍并减去1之外，就是说
J(2n) = 2J(n)=1,n>=1
类似对于2n+1个人
J(2n+1) = 2J(n)=1,n>=1
J(1) = 1
解：
如果我们将n写成n=2^(m)+l,其中2^m是不超过n的2的最大幂，而l则是剩下的数，则
J(n) = J(2^(m)+l) = 2l+1, m>=0,0<=l<2^m
如果以2为基数表示n和J(n)，就会发现把n抽左移一位就得到J(n)
和式
要把a(n)T(n) = b(n)T(n-1)+c(n)的递归转化和式，其思想是用一个求和因子s(n)来乘两边：
s(n)a(n)T(n) = s(n)b(n)T(n-1)+s(n)c(n)
因子s(n)需要恰当的选择，以使得
s(n)b(n) = s(n-1)a(n-1)
由些可得s(n) = s(n-1)a(n-1)/b(n)
求和式的方法：
（0）查找公式
数学公式的一个权威资源是handbook of mathematical functions。
（1）猜测答案，用归纳法证明之
（2）对和式用扰动法
（3）建立成套方法
（4）用积分替换和式
（5）展开和收缩
（6）用有限微积分
（7）用生成函数
整值函数
整数是离散数学的支柱，
upper(x)-floor(x) = bool(x不是整数)
floor(-x) = -upper(x), upper(-x) = -floor(x)
x mod y = x-y*floor(x/y),y !=0，这可以推广到任意实数
分配律是mod最重要的代数性质，对所有实数c、x和y，我们有：
c(x mod y) = (cx) mod (cy)
数论
数论是讨论整数性质的重要数学分支。
欧几里德算法求gcd：
gcd(0,n) = n;
gcd(m,n) = gcd(n mod m, m) , m >0