虚数的意义
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有人在 Stack Exchange 问了一个问题：
"我一直觉得虚数（imaginary number）很难懂。
中学老师说，虚数就是-1的平方根。
可是，什么数的平方等于-1呢？计算器直接显示出错！
直到今天，我也没有搞懂。谁能解释，虚数到底是什么？
它有什么用？"
帖子的下面，很多人给出了自己的解释，还推荐了一篇非常棒的文章《虚数的图解》。我读后恍然大悟，醍醐灌顶，原来虚数这么简单，一点也不奇怪和难懂！
下面，我就用自己的语言，讲述我所理解的虚数。
一、什么是虚数？
首先，假设有一根数轴，上面有两个反向的点：+1和-1。
这根数轴的正向部分，可以绕原点旋转。显然，逆时针旋转 180 度，+1就会变成-1。
这相当于两次逆时针旋转 90 度。
因此，我们可以得到下面的关系式：
(+1) * (逆时针旋转 90 度) * (逆时针旋转 90 度) = (-1)
如果把 +1 消去，这个式子就变为：
(逆时针旋转 90 度)^2 = (-1)
将"逆时针旋转 90 度"记为 i ：
i^2 = (-1)
这个式子很眼熟，它就是虚数的定义公式。
所以，我们可以知道，虚数 i 就是逆时针旋转 90 度，i 不是一个数，而是一个旋转量。
二、复数的定义
既然 i 表示旋转量，我们就可以用 i ，表示任何实数的旋转状态。
将实数轴看作横轴，虚数轴看作纵轴，就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数，必然唯一对应这个平面中的某个点。
只要确定横坐标和纵坐标，比如( 1 ， i )，就可以确定某个实数的旋转量（45度）。
数学家用一种特殊的表示方法，表示这个二维坐标：用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如，把 ( 1 ， i ) 表示成 1 + i 。这种表示方法就叫做复数（complex number），其中 1 称为实数部，i 称为虚数部。
为什么要把二维坐标表示成这样呢，下一节告诉你原因。
三、虚数的作用：加法
虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。
比如，物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是 3 + i ，另一个力是 1 + 3i ，请问它们的合成力是多少？
根据"平行四边形法则"，你马上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。
这就是虚数加法的物理意义。
四、虚数的作用：乘法
如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。
比如，一条船的航向是 3 + 4i 。
如果该船的航向，逆时针增加 45 度，请问新航向是多少？
45度的航向就是 1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了（原因在下一节解释）：
( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )
所以，该船的新航向是 -1 + 7i 。
如果航向逆时针增加 90 度，就更简单了。因为 90 度的航向就是 i ，所以新航向等于：
( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )
这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。
五、虚数乘法的数学证明
为什么一个复数改变旋转角度，只要做乘法就可以了？
下面就是它的数学证明，实际上很简单。
任何复数 a + bi，都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。
假定现有两个复数 a + bi 和 c + di，可以将它们改写如下：
a + bi = r1 * ( cosα + isinα )
c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )
这两个复数相乘，( a + bi )( c + di ) 就相当于
r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )
展开后面的乘式，得到
cosα * cosβ - sinα * sinβ + i ( cosα * sinβ + sinα * cosβ )
根据三角函数公式，上面的式子就等于
cos (α+β) + isin (α+β)
所以，
( a + bi )( c + di )＝r1 * r2 * ( cos (α+β) + isin (α+β) )
这就证明了，两个复数相乘，就等于旋转半径相乘、旋转角度相加。